Álgebra Exemplos

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} + 16 x^{2} + 27 x - 18$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$f (x) = 3 x^{3} + 27 x + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Etapa 2

Fatore $3 x$ de $3 x^{3} + 27 x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{3}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2}) + 27 x + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Etapa 2.2

Fatore $3 x$ de $27 x$ .

$f (x) = 3 x (x^{2}) + 3 x (9) + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Etapa 2.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x^{2}) + 3 x (9)$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

Etapa 3

Fatore $2$ de $2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$ .

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Etapa 3.1

Fatore $2$ de $2 x^{4}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4}) + 16 x^{2} - 18$

Etapa 3.2

Fatore $2$ de $16 x^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4}) + 2 (8 x^{2}) - 18$

Etapa 3.3

Fatore $2$ de $- 18$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 x^{4} + 2 (8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $2 x^{4} + 2 (8 x^{2})$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$

Etapa 3.5

Fatore $2$ de $2 (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4} + 8 x^{2} - 9)$

Etapa 4

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 9)$

Etapa 5

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (u^{2} + 8 u - 9)$

Etapa 6

Fatore $u^{2} + 8 u - 9$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + i x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $i$ . Neste caso, cujo produto é $- 9$ e cuja soma é $8$ .

$f (x) = - 1, 9$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((u - 1) (u + 9))$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x^{2} - 1) (x^{2} + 9))$

Etapa 8

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9))$

Etapa 9

Fatore.

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Etapa 9.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ em que $a = x$ e $i = 1$ .

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$

Etapa 10

Fatore $x^{2} + 9$ de $3 x (x^{2} + 9) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

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Etapa 10.1

Fatore $x^{2} + 9$ de $3 x (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$

Etapa 10.2

Fatore $x^{2} + 9$ de $2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x) + (x^{2} + 9) (2 (x + 1) (x - 1))$

Etapa 10.3

Fatore $x^{2} + 9$ de $(x^{2} + 9) (3 x) + (x^{2} + 9) (2 (x + 1) (x - 1))$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 (x + 1) (x - 1))$

Etapa 11

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + (2 x + 2 \cdot 1) (x - 1))$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + (2 x + 2) (x - 1))$

Etapa 13

Expanda $(2 x + 2) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x (x - 1) + 2 (x - 1))$

Etapa 13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1))$

Etapa 13.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Etapa 14

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 14.1.1.1

Mova $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Etapa 14.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Etapa 14.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1)$

Etapa 14.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2)$

Etapa 14.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} + 0 - 2)$

Etapa 14.3

Some $2 x^{2}$ e $0$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2)$

Etapa 15

Reordene os termos.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3 x - 2)$

Etapa 16

Fatore.

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Etapa 16.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 16.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + i x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e cuja soma é $i = 3$ .

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Etapa 16.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3 (x) - 2)$

Etapa 16.1.1.2

Reescreva $3$ como $- 1$ mais $4$

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)$

Etapa 16.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)$

Etapa 16.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 16.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f (x) = (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)$

Etapa 16.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f (x) = (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))$

Etapa 16.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 2))$

Etapa 16.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 2)$