Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{4} + 5 x^{2} + 4$

Etapa 1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} + 4$

Etapa 2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f (x) = u^{2} + 5 u + 4$

Etapa 3

Fatore $u^{2} + 5 u + 4$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $5$ .

$1, 4$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = (u + 1) (u + 4)$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f (x) = (x^{2} + 1) (x^{2} + 4)$

Etapa 5

Fatore em relação aos números complexos.

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Etapa 5.1

Multiplique a constante no polinômio $x^{2} + 1$ por $- i^{2}$ , em que $i^{2}$ é igual a $- 1$ .

$f (x) = (x^{2} - 1 i^{2}) (x^{2} + 4)$

Etapa 5.2

Multiplique a constante no polinômio $x^{2} + 4$ por $- i^{2}$ , em que $i^{2}$ é igual a $- 1$ .

$f (x) = (x^{2} - 1 i^{2}) (x^{2} - 4 i^{2})$

Etapa 5.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ em que $a = x$ e $i = i$ .

$f (x) = (x + i) (x - i) (x^{2} - 4 i^{2})$

Etapa 5.4

Reescreva $4 i^{2}$ como ${(2 i)}^{2}$ .

$f (x) = (x + i) (x - i) (x^{2} - {(2 i)}^{2})$

Etapa 5.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ em que $a = x$ e $i = 2 i$ .

$f (x) = (x + i) (x - i) ((x + 2 i) (x - (2 i)))$

Etapa 5.6

Fatore.

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Etapa 5.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x) = (x + i) (x - i) ((x + 2 i) (x - 2 i))$

Etapa 5.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x + i) (x - i) (x + 2 i) (x - 2 i)$