Álgebra Exemplos

$5 x^{2} + 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $5 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y - 5 x^{2} = 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Etapa 1.1.2

Subtraia $9 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} = 10 x - 54 y + 41$

Etapa 1.1.3

Subtraia $10 x$ dos dois lados da equação.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x = - 54 y + 41$

Etapa 1.1.4

Some $54 y$ aos dois lados da equação.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 54 y = 41$

Etapa 1.1.5

Some $y$ e $54 y$ .

$- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- 5 x^{2} - 10 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 5$

$b = - 10$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 5}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 5)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 5}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 20}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $100$ por $- 20$ .

$e = 0 - - 5$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$e = 0 + 5$

Etapa 1.2.4.2.2

Some $0$ e $5$ .

$e = 5$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$

Etapa 1.3

Substitua $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ por $- 5 x^{2} - 10 x$ na equação $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5 - 9 y^{2} + 55 y = 41$

Etapa 1.4

Mova $5$ para o lado direito da equação, somando $5$ aos dois lados.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} + 55 y = 41 - 5$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $- 9 y^{2} + 55 y$ .

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Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 9$

$b = 55$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{55}{2 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$d = \frac{55}{- 18}$

Etapa 1.5.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{55}{18}$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{55^{2}}{4 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $55$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{3025}{4 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$e = 0 - \frac{3025}{- 36}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = 0 - - \frac{3025}{36}$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- - \frac{3025}{36}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{3025}{36})$

Etapa 1.5.4.2.1.4.2

Multiplique $\frac{3025}{36}$ por $1$ .

$e = 0 + \frac{3025}{36}$

Etapa 1.5.4.2.2

Some $0$ e $\frac{3025}{36}$ .

$e = \frac{3025}{36}$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ .

$- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$

Etapa 1.6

Substitua $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ por $- 9 y^{2} + 55 y$ na equação $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36} = 41 - 5$

Etapa 1.7

Mova $\frac{3025}{36}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{3025}{36}$ aos dois lados.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = 41 - 5 - \frac{3025}{36}$

Etapa 1.8

Simplifique $41 - 5 - \frac{3025}{36}$ .

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Etapa 1.8.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1

Escreva $41$ como uma fração com denominador $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} - 5 - \frac{3025}{36}$

Etapa 1.8.1.2

Multiplique $\frac{41}{1}$ por $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} \cdot \frac{36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Etapa 1.8.1.3

Multiplique $\frac{41}{1}$ por $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Etapa 1.8.1.4

Escreva $- 5$ como uma fração com denominador $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} - \frac{3025}{36}$

Etapa 1.8.1.5

Multiplique $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{36}{36} - \frac{3025}{36}$

Etapa 1.8.1.6

Multiplique $\frac{- 5}{1}$ por $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5 \cdot 36}{36} - \frac{3025}{36}$

Etapa 1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Etapa 1.8.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.3.1

Multiplique $41$ por $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Etapa 1.8.3.2

Multiplique $- 5$ por $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 180 - 3025}{36}$

Etapa 1.8.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.8.4.1

Subtraia $180$ de $1476$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1296 - 3025}{36}$

Etapa 1.8.4.2

Subtraia $3025$ de $1296$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{- 1729}{36}$

Etapa 1.8.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = - \frac{1729}{36}$

Etapa 1.9

Inverta o sinal em cada termo da equação para que o termo do lado direito fique positivo.

$5 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1729}{36}$

Etapa 1.10

Divida cada termo por $\frac{1729}{36}$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{5 {(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{36}} + \frac{9 {(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{36}} = \frac{\frac{1729}{36}}{\frac{1729}{36}}$

Etapa 1.11

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{180}} + \frac{{(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{324}} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \frac{\sqrt{8645}}{30}$

$b = \frac{\sqrt{1729}}{18}$

$k = \frac{55}{18}$

$h = - 1$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 1, \frac{55}{18})$

Etapa 5