Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 7)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 7)$ como uma equação.

$y = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 7)$

Etapa 2

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 2.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$

Etapa 2.1.2

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$

Etapa 2.1.3

Simplifique $\frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$ .

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Etapa 2.1.3.1

Expanda $(x - 1) (x + 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x (x + 7) - 1 (x + 7))$

Etapa 2.1.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 7 - 1 (x + 7))$

Etapa 2.1.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 7 - 1 x - 1 \cdot 7)$

Etapa 2.1.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + x \cdot 7 - 1 x - 1 \cdot 7)$

Etapa 2.1.3.2.1.2

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 7)$

Etapa 2.1.3.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 x - x - 1 \cdot 7)$

Etapa 2.1.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 x - x - 7)$

Etapa 2.1.3.2.2

Subtraia $x$ de $7 x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 6 x - 7)$

Etapa 2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Etapa 2.1.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.3.4.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Etapa 2.1.3.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.3.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Etapa 2.1.3.4.2.2

Fatore $2$ de $6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (3 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Etapa 2.1.3.4.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (3 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Etapa 2.1.3.4.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (3 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Etapa 2.1.3.4.3

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Etapa 2.1.3.4.4

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Etapa 2.1.3.4.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 7$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{- 7}{4}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{7}{4}$

Etapa 2.2

Complete o quadrado de $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{7}{4}$ .

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Etapa 2.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = - \frac{7}{4}$

Etapa 2.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.2.3.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Etapa 2.2.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 2.2.3.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 2.2.3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.3.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.2.3.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Etapa 2.2.3.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.3.2.5.1

Fatore $2$ de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Etapa 2.2.3.2.5.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Etapa 2.2.3.2.5.3

Reescreva a expressão.

$d = 3$

Etapa 2.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 2.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.2.4.2.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.2.4.2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{4}}$

Etapa 2.2.4.2.1.3

Divida $4$ por $4$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{1}$

Etapa 2.2.4.2.1.4

Divida $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{9}{4}$

Etapa 2.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 7 - 9}{4}$

Etapa 2.2.4.2.3

Subtraia $9$ de $- 7$ .

$e = \frac{- 16}{4}$

Etapa 2.2.4.2.4

Divida $- 16$ por $4$ .

$e = - 4$

Etapa 2.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 4$

Etapa 2.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} - 4$

Etapa 3

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = - 4$

Etapa 4

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 5

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 3, - 4)$

Etapa 6

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 6.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 6.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 6.3.2

Simplifique dividindo os números.

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Etapa 6.3.2.1

Divida $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 6.3.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$

Etapa 7

Encontre o foco.

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Etapa 7.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 3, - 3)$

Etapa 8

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 3$

Etapa 9