Álgebra Exemplos

$3 x^{2} - 2 y^{2} = 12$

Etapa 1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 2 y^{2} = 12 - 3 x^{2}$

Etapa 2

Divida cada termo em $- 2 y^{2} = 12 - 3 x^{2}$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $- 2 y^{2} = 12 - 3 x^{2}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{12}{- 2} + \frac{- 3 x^{2}}{- 2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{12}{- 2} + \frac{- 3 x^{2}}{- 2}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{12}{- 2} + \frac{- 3 x^{2}}{- 2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Divida $12$ por $- 2$ .

$y^{2} = - 6 + \frac{- 3 x^{2}}{- 2}$

Etapa 2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y^{2} = - 6 + \frac{3 x^{2}}{2}$

Etapa 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 6 + \frac{3 x^{2}}{2}}$

Etapa 4

Simplifique $\pm \sqrt{- 6 + \frac{3 x^{2}}{2}}$ .

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Etapa 4.1

Para escrever $- 6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $- 6$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}}$

Etapa 4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 6 \cdot 2 + 3 x^{2}}{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Fatore $3$ de $- 6 \cdot 2 + 3 x^{2}$ .

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Etapa 4.3.1.1

Fatore $3$ de $- 6 \cdot 2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (- 2 \cdot 2) + 3 x^{2}}{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (- 2 \cdot 2) + 3 (x^{2})}{2}}$

Etapa 4.3.1.3

Fatore $3$ de $3 (- 2 \cdot 2) + 3 (x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (- 2 \cdot 2 + x^{2})}{2}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (- 4 + x^{2})}{2}}$

Etapa 4.3.3

Reescreva $- 4 + x^{2}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.3.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (- 2^{2} + x^{2})}{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Reordene $- 2^{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (x^{2} - 2^{2})}{2}}$

Etapa 4.3.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 ((x + 2) (x - 2))}{2}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2}}$

Etapa 4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{3 (x + 2) (x - 2)}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.5

Multiplique $\frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.6

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 4.6.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 4.6.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 4.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.6.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 4.6.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 4.6.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2)} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 2) (x - 2) \cdot 2}}{2}$

Etapa 4.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x + 2) (x - 2)}}{2}$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (x + 2) (x - 2)}}{2}$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x + 2) (x - 2)}}{2}$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x + 2) (x - 2)}}{2}$

Etapa 6

Defina o radicando em $\sqrt{6 (x + 2) (x - 2)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$6 (x + 2) (x - 2) \geq 0$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 7.2

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 7.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 7.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 7.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7.4

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x + 2) (x - 2) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 7.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 7.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 7.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$6 ((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

Etapa 7.6.1.3

O lado esquerdo $72$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.6.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 7.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$6 ((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

Etapa 7.6.2.3

O lado esquerdo $- 24$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 7.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$6 ((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

Etapa 7.6.3.3

O lado esquerdo $72$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 7.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 2$ ou $x \geq 2$

Etapa 8

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Etapa 9