Álgebra Exemplos

$1 + 4 i$ , $- 2 + 4 i$ , $- 2 - 3 i$ , $1 - 3 i$

Etapa 1

$x = 1 + 4 i$ e $x = - 2 + 4 i$ são as duas soluções reais distintas para a equação quadrática, o que significa que $x - 1 + 4 i$ e $x - - 2 + 4 i$ são os fatores da equação quadrática.

$(x - 1 + 4 i) (x + 2 + 4 i) = 0$

Etapa 2

Expanda $(x - 1 + 4 i) (x + 2 + 4 i)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x \cdot x + x \cdot 2 + x (4 i) - 1 x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 + x (4 i) - 1 x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Etapa 3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x + x (4 i) - 1 x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Etapa 3.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 2 x + 4 \cdot (x i) - 1 x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Etapa 3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 1 \cdot 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Etapa 3.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 1 (4 i) + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Etapa 3.1.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 4 i \cdot 2 + 4 i (4 i) = 0$

Etapa 3.1.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 4 i (4 i) = 0$

Etapa 3.1.8

Multiplique $4 i (4 i)$ .

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Etapa 3.1.8.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 i i = 0$

Etapa 3.1.8.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 (i i) = 0$

Etapa 3.1.8.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 (i i) = 0$

Etapa 3.1.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 i^{1 + 1} = 0$

Etapa 3.1.8.5

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 i^{2} = 0$

Etapa 3.1.9

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i + 16 \cdot - 1 = 0$

Etapa 3.1.10

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 4 x i - x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i - 16 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$x^{2} + 4 x i + x - 2 - 4 i + 4 i x + 8 i - 16 = 0$

Etapa 4

Some $4 x i$ e $4 i x$ .

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Etapa 4.1

Mova $i$ .

$x^{2} + 4 x i + 4 x i + x - 2 - 4 i + 8 i - 16 = 0$

Etapa 4.2

Some $4 x i$ e $4 x i$ .

$x^{2} + 8 x i + x - 2 - 4 i + 8 i - 16 = 0$

Etapa 5

Subtraia $16$ de $- 2$ .

$x^{2} + 8 x i + x - 18 - 4 i + 8 i = 0$

Etapa 6

Some $- 4 i$ e $8 i$ .

$x^{2} + 8 x i + x - 18 + 4 i = 0$

Etapa 7

A equação quadrática padrão que usa o conjunto de soluções em questão ${1 + 4 i, - 2 + 4 i, - 2 - 3 i, 1 - 3 i}$ é $y = x^{2} + 8 x i + x - 18 + 4 i$ .

$y = x^{2} + 8 x i + x - 18 + 4 i$

Etapa 8