Álgebra Exemplos

$(2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5})$

Etapa 1

$x = 2 - \sqrt{5}$ e $x = 2 + \sqrt{5}$ são as duas soluções reais distintas para a equação quadrática, o que significa que $x + 2 - \sqrt{5}$ e $x - 2 + \sqrt{5}$ são os fatores da equação quadrática.

$(x + 2 - \sqrt{5}) (x - 2 + \sqrt{5}) = 0$

Etapa 2

Expanda $(x + 2 - \sqrt{5}) (x - 2 + \sqrt{5})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + x \sqrt{5} + 2 x + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + x \sqrt{5} + 2 x + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

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Etapa 3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$x \cdot x - 2 x + x \sqrt{5} + 2 x + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Etapa 3.1.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$x \cdot x + x \sqrt{5} + 0 + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Etapa 3.1.3

Some $x \cdot x + x \sqrt{5}$ e $0$ .

$x \cdot x + x \sqrt{5} + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} x - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Etapa 3.1.4

Reorganize os fatores nos termos $x \sqrt{5}$ e $- \sqrt{5} x$ .

$x \cdot x + x \sqrt{5} + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - x \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Etapa 3.1.5

Subtraia $x \sqrt{5}$ de $x \sqrt{5}$ .

$x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Etapa 3.1.6

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$x \cdot x + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot - 2 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot - 2 - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{5} = 0$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

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Etapa 3.2.4.1

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - (\sqrt{5} \sqrt{5}) = 0$

Etapa 3.2.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - (\sqrt{5} \sqrt{5}) = 0$

Etapa 3.2.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1} = 0$

Etapa 3.2.4.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2} = 0$

Etapa 3.2.5

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 3.2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0$

Etapa 3.2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0$

Etapa 3.2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}} = 0$

Etapa 3.2.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}} = 0$

Etapa 3.2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 5 = 0$

Etapa 3.2.5.5

Avalie o expoente.

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 1 \cdot 5 = 0$

Etapa 3.2.6

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$x^{2} - 4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 5 = 0$

Etapa 3.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $5$ de $- 4$ .

$x^{2} - 9 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} = 0$

Etapa 3.3.2

Some $2 \sqrt{5}$ e $2 \sqrt{5}$ .

$x^{2} - 9 + 4 \sqrt{5} = 0$

Etapa 4

A equação quadrática padrão que usa o conjunto de soluções em questão ${2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}}$ é $y = x^{2} - 9 + 4 \sqrt{5}$ .

$y = x^{2} - 9 + 4 \sqrt{5}$

Etapa 5