Álgebra Exemplos

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$

Etapa 1

$x = \frac{1}{2}$ e $x = \frac{1}{3}$ são as duas soluções reais distintas para a equação quadrática, o que significa que $x - \frac{1}{2}$ e $x - \frac{1}{3}$ são os fatores da equação quadrática.

$(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) = 0$

Etapa 2

Expanda $(x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}) = 0$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}) = 0$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Etapa 3.1.2

Combine $x$ e $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Etapa 3.1.3

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{3}) = 0$

Etapa 3.1.4

Multiplique $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Etapa 3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{3} = 0$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 0$

Etapa 3.1.4.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = 0$

Etapa 3.1.4.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 3.2

Para escrever $- \frac{x}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 3.3

Para escrever $- \frac{x}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.4.1

Multiplique $\frac{x}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 3.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 3.4.3

Multiplique $\frac{x}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 3.4.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{6} - \frac{x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{2} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 3.6

Para escrever $x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 3.7

Combine $x^{2}$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - x \cdot 2 - x \cdot 3 + 1}{6} = 0$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$\frac{6 x^{2} - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} = 0$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(6 x^{2} - 1 \cdot (2 x)) - 1 \cdot (3 x) + 1}{6} = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 x (3 x - 1) - (3 x - 1)}{6} = 0$

Etapa 4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 x - 1)}{6} = 0$

Etapa 5

Expanda $(3 x - 1) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{6} = 0$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{6} = 0$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Etapa 6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Etapa 6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 (x \cdot x)) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 x^{2}) + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Etapa 6.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Etapa 6.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{6} = 0$

Etapa 6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 3 x - 2 x + 1}{6} = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $2 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{6} = 0$

Etapa 7

Divida a fração $\frac{6 x^{2} - 5 x + 1}{6}$ em duas frações.

$\frac{6 x^{2} - 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 8

Divida a fração $\frac{6 x^{2} - 5 x}{6}$ em duas frações.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 9.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{- 5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6} = 0$

Etapa 11

A equação quadrática padrão que usa o conjunto de soluções em questão ${\frac{1}{2}, \frac{1}{3}}$ é $y = x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6}$ .

$y = x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{1}{6}$

Etapa 12