Álgebra Exemplos

$\sqrt[3]{8^{x}}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt[3]{8^{y}}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\sqrt[3]{8^{y}} = x$ .

$\sqrt[3]{8^{y}} = x$

Etapa 2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{8^{y}}}^{3} = x^{3}$

Etapa 2.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{8^{y}}$ como $8^{\frac{y}{3}}$ .

${(8^{\frac{y}{3}})}^{3} = x^{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Multiplique os expoentes em ${(8^{\frac{y}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8^{\frac{y}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$8^{\frac{y}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$8^{y} = x^{3}$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (8^{y}) = \ln (x^{3})$

Etapa 2.4.2

Expanda $\ln (8^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (8) = \ln (x^{3})$

Etapa 2.4.3

Divida cada termo em $y \ln (8) = \ln (x^{3})$ por $\ln (8)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Divida cada termo em $y \ln (8) = \ln (x^{3})$ por $\ln (8)$ .

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Etapa 2.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (8)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Etapa 2.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{8^{x}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{8^{x}})}^{3})}{\ln (8)}$

Etapa 4.2.3

Reescreva ${\sqrt[3]{8^{x}}}^{3}$ como $8^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{8^{x}}$ como $8^{\frac{x}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln ({(8^{\frac{x}{3}})}^{3})}{\ln (8)}$

Etapa 4.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x}{3} \cdot 3})}{\ln (8)}$

Etapa 4.2.3.3

Combine $\frac{x}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x \cdot 3}{3}})}{\ln (8)}$

Etapa 4.2.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x \cdot 3}{3}})}{\ln (8)}$

Etapa 4.2.3.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{x})}{\ln (8)}$

Etapa 4.2.4

Expanda $\ln (8^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $\ln (8)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Etapa 4.2.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{8^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}}$

Etapa 4.3.3

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{8^{\log_{8} (x^{3})}}$

Etapa 4.3.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Etapa 4.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{8^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$