Álgebra Exemplos

$\ln (2 x) - 2$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \ln (2 y) - 2$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\ln (2 y) - 2 = x$ .

$\ln (2 y) - 2 = x$

Etapa 2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\ln (2 y) = x + 2$

Etapa 2.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (2 y)} = e^{x + 2}$

Etapa 2.4

Reescreva $\ln (2 y) = x + 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = 2 y$

Etapa 2.5

Resolva $y$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $2 y = e^{x + 2}$ .

$2 y = e^{x + 2}$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $2 y = e^{x + 2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $2 y = e^{x + 2}$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x + 2}}{2}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x + 2}}{2}$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x + 2}}{2}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{2}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{2}$ é o inverso de $f (x) = \ln (2 x) - 2$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\ln (2 x) - 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x) - 2) = \frac{e^{(\ln (2 x) - 2) + 2}}{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.3.1

Combine os termos opostos em $\ln (2 x) - 2 + 2$ .

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Etapa 4.2.3.1.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x) - 2) = \frac{e^{\ln (2 x) + 0}}{2}$

Etapa 4.2.3.1.2

Some $\ln (2 x)$ e $0$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x) - 2) = \frac{e^{\ln (2 x)}}{2}$

Etapa 4.2.3.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\ln (2 x) - 2) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\ln (2 x) - 2) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 4.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x) - 2) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{e^{x + 2}}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x + 2}}{2})) - 2$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x + 2}}{2})) - 2$

Etapa 4.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Etapa 4.3.3.2

Use as regras logarítmicas para mover $x + 2$ para fora do expoente.

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Etapa 4.3.3.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Etapa 4.3.3.4

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = x + 2 - 2$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $x + 2 - 2$ .

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Etapa 4.3.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = x + 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{2}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{2}$ é o inverso de $f (x) = \ln (2 x) - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{2}$