Álgebra Exemplos

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{y} + \ln (x y))$

Etapa 2

A derivada de $z$ em relação a $x$ é $z'$ .

$z'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{y} + \ln (x y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \cdot 1)$

Etapa 3.2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} y$

Etapa 3.2.5

Combine $\frac{1}{x y}$ e $y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Etapa 3.2.6

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.2.6.1

Cancele o fator comum.

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Etapa 3.2.6.2

Reescreva a expressão.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Combine os termos.

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Etapa 3.3.1.1

Para escrever $y x^{y - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y x^{y - 1} x}{x} + \frac{1}{x}$

Etapa 3.3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y x^{y - 1} x + 1}{x}$

Etapa 3.3.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{y - 1}) + 1}{x}$

Etapa 3.3.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y x^{1 + y - 1} + 1}{x}$

Etapa 3.3.1.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{y x^{y + 0} + 1}{x}$

Etapa 3.3.1.6

Some $y$ e $0$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Etapa 3.3.2

Reordene os termos.

$\frac{x^{y} y + 1}{x}$

Etapa 3.3.3

Reordene os fatores em $\frac{x^{y} y + 1}{x}$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$z' = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

Etapa 5

Substitua $z'$ por $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{y x^{y} + 1}{x}$