Álgebra Exemplos

$x^{2} + y^{2} = {(2 x^{2} + 2 y^{2} - x)}^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d y} ({(2 x^{2} + 2 y^{2} - x)}^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x x' + 2 y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = 2 x^{2} + 2 y^{2} - x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x^{2} + 2 y^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [2 x^{2} + 2 y^{2} - x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [2 x^{2} + 2 y^{2} - x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x^{2} + 2 y^{2} - x$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) \frac{d}{d y} [2 x^{2} + 2 y^{2} - x]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 2 y^{2} - x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 3.2.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) (2 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) (2 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) (2 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) (4 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) (4 x x' + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 3.6

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) (4 x x' + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) (4 x x' + 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) (4 x x' + 4 y + \frac{d}{d y} [- x])$

Etapa 3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) (4 x x' + 4 y - \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 3.10

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - x) (4 x x' + 4 y - x')$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (2 x^{2}) + 2 (2 y^{2}) + 2 (- x)) (4 x x' + 4 y - x')$

Etapa 3.11.2

Combine os termos.

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Etapa 3.11.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$(4 x^{2} + 2 (2 y^{2}) + 2 (- x)) (4 x x' + 4 y - x')$

Etapa 3.11.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(4 x^{2} + 4 y^{2} + 2 (- x)) (4 x x' + 4 y - x')$

Etapa 3.11.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(4 x^{2} + 4 y^{2} - 2 x) (4 x x' + 4 y - x')$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x x' + 2 y = (4 x^{2} + 4 y^{2} - 2 x) (4 x x' + 4 y - x')$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Como $x'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$(4 x^{2} + 4 y^{2} - 2 x) (4 x x' + 4 y - x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2

Simplifique $(4 x^{2} + 4 y^{2} - 2 x) (4 x x' + 4 y - x')$ .

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Etapa 5.2.1

Reescreva.

$0 + 0 + (4 x^{2} + 4 y^{2} - 2 x) (4 x x' + 4 y - x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os zeros.

$(4 x^{2} + 4 y^{2} - 2 x) (4 x x' + 4 y - x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.3

Expanda $(4 x^{2} + 4 y^{2} - 2 x) (4 x x' + 4 y - x')$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$4 x^{2} (4 x x') + 4 x^{2} (4 y) + 4 x^{2} (- x') + 4 y^{2} (4 x x') + 4 y^{2} (4 y) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.4.1.1.1

Mova $x$ .

$4 (x \cdot x^{2}) (4 x') + 4 x^{2} (4 y) + 4 x^{2} (- x') + 4 y^{2} (4 x x') + 4 y^{2} (4 y) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) (4 x') + 4 x^{2} (4 y) + 4 x^{2} (- x') + 4 y^{2} (4 x x') + 4 y^{2} (4 y) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{1 + 2} (4 x') + 4 x^{2} (4 y) + 4 x^{2} (- x') + 4 y^{2} (4 x x') + 4 y^{2} (4 y) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$4 x^{3} (4 x') + 4 x^{2} (4 y) + 4 x^{2} (- x') + 4 y^{2} (4 x x') + 4 y^{2} (4 y) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \cdot 4 x^{3} x' + 4 x^{2} (4 y) + 4 x^{2} (- x') + 4 y^{2} (4 x x') + 4 y^{2} (4 y) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.3

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 x^{3} x' + 4 x^{2} (4 y) + 4 x^{2} (- x') + 4 y^{2} (4 x x') + 4 y^{2} (4 y) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 x^{3} x' + 4 \cdot 4 x^{2} y + 4 x^{2} (- x') + 4 y^{2} (4 x x') + 4 y^{2} (4 y) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.5

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y + 4 x^{2} (- x') + 4 y^{2} (4 x x') + 4 y^{2} (4 y) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y + 4 \cdot - 1 x^{2} x' + 4 y^{2} (4 x x') + 4 y^{2} (4 y) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 4 y^{2} (4 x x') + 4 y^{2} (4 y) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.8

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} (x x') + 4 y^{2} (4 y) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 4 \cdot 4 y^{2} y + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.10

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.4.1.10.1

Mova $y$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 4 \cdot 4 (y \cdot y^{2}) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.10.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 5.2.4.1.10.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 4 \cdot 4 (y^{1} y^{2}) + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 4 \cdot 4 y^{1 + 2} + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.10.3

Some $1$ e $2$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 4 \cdot 4 y^{3} + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.11

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} + 4 y^{2} (- x') - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} + 4 \cdot - 1 y^{2} x' - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.13

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 2 x (4 x x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.14

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.4.1.14.1

Mova $x$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 2 (x \cdot x) (4 x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.14.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 2 x^{2} (4 x') - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.15

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 2 \cdot 4 x^{2} x' - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.16

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 8 x^{2} x' - 2 x (4 y) - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.17

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 8 x^{2} x' - 2 \cdot 4 x y - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.18

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 8 x^{2} x' - 8 x y - 2 x (- x') = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.19

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 8 x^{2} x' - 8 x y - 2 \cdot - 1 x x' = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.1.20

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y - 4 x^{2} x' + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 8 x^{2} x' - 8 x y + 2 x x' = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.2.4.2

Subtraia $8 x^{2} x'$ de $- 4 x^{2} x'$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 12 x^{2} x' - 8 x y + 2 x x' = 2 x x' + 2 y$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm $x'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $2 x x'$ dos dois lados da equação.

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 12 x^{2} x' - 8 x y + 2 x x' - 2 x x' = 2 y$

Etapa 5.3.2

Combine os termos opostos em $16 x^{3} x' + 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 12 x^{2} x' - 8 x y + 2 x x' - 2 x x'$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $2 x x'$ de $2 x x'$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 12 x^{2} x' - 8 x y + 0 = 2 y$

Etapa 5.3.2.2

Some $16 x^{3} x' + 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 12 x^{2} x' - 8 x y$ e $0$ .

$16 x^{3} x' + 16 x^{2} y + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 12 x^{2} x' - 8 x y = 2 y$

Etapa 5.4

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.4.1

Subtraia $16 x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$16 x^{3} x' + 16 y^{2} x x' + 16 y^{3} - 4 y^{2} x' - 12 x^{2} x' - 8 x y = 2 y - 16 x^{2} y$

Etapa 5.4.2

Subtraia $16 y^{3}$ dos dois lados da equação.

$16 x^{3} x' + 16 y^{2} x x' - 4 y^{2} x' - 12 x^{2} x' - 8 x y = 2 y - 16 x^{2} y - 16 y^{3}$

Etapa 5.4.3

Some $8 x y$ aos dois lados da equação.

$16 x^{3} x' + 16 y^{2} x x' - 4 y^{2} x' - 12 x^{2} x' = 2 y - 16 x^{2} y - 16 y^{3} + 8 x y$

Etapa 5.5

Fatore $4 x'$ de $16 x^{3} x' + 16 y^{2} x x' - 4 y^{2} x' - 12 x^{2} x'$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $4 x'$ de $16 x^{3} x'$ .

$4 x' (4 x^{3}) + 16 y^{2} x x' - 4 y^{2} x' - 12 x^{2} x' = 2 y - 16 x^{2} y - 16 y^{3} + 8 x y$

Etapa 5.5.2

Fatore $4 x'$ de $16 y^{2} x x'$ .

$4 x' (4 x^{3}) + 4 x' (4 y^{2} x) - 4 y^{2} x' - 12 x^{2} x' = 2 y - 16 x^{2} y - 16 y^{3} + 8 x y$

Etapa 5.5.3

Fatore $4 x'$ de $- 4 y^{2} x'$ .

$4 x' (4 x^{3}) + 4 x' (4 y^{2} x) + 4 x' (- y^{2}) - 12 x^{2} x' = 2 y - 16 x^{2} y - 16 y^{3} + 8 x y$

Etapa 5.5.4

Fatore $4 x'$ de $- 12 x^{2} x'$ .

$4 x' (4 x^{3}) + 4 x' (4 y^{2} x) + 4 x' (- y^{2}) + 4 x' (- 3 x^{2}) = 2 y - 16 x^{2} y - 16 y^{3} + 8 x y$

Etapa 5.5.5

Fatore $4 x'$ de $4 x' (4 x^{3}) + 4 x' (4 y^{2} x)$ .

$4 x' (4 x^{3} + 4 y^{2} x) + 4 x' (- y^{2}) + 4 x' (- 3 x^{2}) = 2 y - 16 x^{2} y - 16 y^{3} + 8 x y$

Etapa 5.5.6

Fatore $4 x'$ de $4 x' (4 x^{3} + 4 y^{2} x) + 4 x' (- y^{2})$ .

$4 x' (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2}) + 4 x' (- 3 x^{2}) = 2 y - 16 x^{2} y - 16 y^{3} + 8 x y$

Etapa 5.5.7

Fatore $4 x'$ de $4 x' (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2}) + 4 x' (- 3 x^{2})$ .

$4 x' (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}) = 2 y - 16 x^{2} y - 16 y^{3} + 8 x y$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $4 x' (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}) = 2 y - 16 x^{2} y - 16 y^{3} + 8 x y$ por $4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $4 x' (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}) = 2 y - 16 x^{2} y - 16 y^{3} + 8 x y$ por $4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})$ .

$\frac{4 x' (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} = \frac{2 y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 x^{2} y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 y^{3}}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} = \frac{2 y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 x^{2} y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 y^{3}}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.2.2

Cancele o fator comum de $4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.6.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 x^{2} y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 y^{3}}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1.1.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$x' = \frac{2 (y)}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 x^{2} y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 y^{3}}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})$ .

$x' = \frac{2 (y)}{2 (2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}))} + \frac{- 16 x^{2} y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 y^{3}}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{2 y}{2 (2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}))} + \frac{- 16 x^{2} y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 y^{3}}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{y}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 x^{2} y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 y^{3}}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 16$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1.2.1

Fatore $4$ de $- 16 x^{2} y$ .

$x' = \frac{y}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{4 (- 4 x^{2} y)}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 16 y^{3}}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.6.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{y}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{- 4 x^{2} y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{- 16 y^{3}}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = \frac{y}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 x^{2} y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{- 16 y^{3}}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.1.4

Cancele o fator comum de $- 16$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1.4.1

Fatore $4$ de $- 16 y^{3}$ .

$x' = \frac{y}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 x^{2} y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{4 (- 4 y^{3})}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.6.3.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{y}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 x^{2} y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{- 4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = \frac{y}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 x^{2} y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{8 x y}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.1.6

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

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Etapa 5.6.3.1.6.1

Fatore $4$ de $8 x y$ .

$x' = \frac{y}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 x^{2} y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{4 (2 x y)}{4 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1.6.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.6.3.1.6.2.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{y}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 x^{2} y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.2

Para escrever $- \frac{4 x^{2} y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x' = \frac{y}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 x^{2} y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.6.3.3.1

Multiplique $\frac{4 x^{2} y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x' = \frac{y}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 x^{2} y \cdot 2}{(4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}) \cdot 2} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.3.2

Reordene os fatores de $(4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}) \cdot 2$ .

$x' = \frac{y}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 x^{2} y \cdot 2}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{y - 4 x^{2} y \cdot 2}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.3.5.1

Fatore $y$ de $y - 4 x^{2} y \cdot 2$ .

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Etapa 5.6.3.5.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$x' = \frac{y^{1} - 4 x^{2} y \cdot 2}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.5.1.2

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$x' = \frac{y \cdot 1 - 4 x^{2} y \cdot 2}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.5.1.3

Fatore $y$ de $- 4 x^{2} y \cdot 2$ .

$x' = \frac{y \cdot 1 + y (- 4 x^{2} \cdot 2)}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.5.1.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- 4 x^{2} \cdot 2)$ .

$x' = \frac{y (1 - 4 x^{2} \cdot 2)}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2})}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.6

Para escrever $- \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2})}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.6.3.7.1

Multiplique $\frac{4 y^{3}}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2})}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 y^{3} \cdot 2}{(4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}) \cdot 2} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.7.2

Reordene os fatores de $(4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}) \cdot 2$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2})}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} - \frac{4 y^{3} \cdot 2}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2}) - 4 y^{3} \cdot 2}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.3.9.1

Fatore $y$ de $y (1 - 8 x^{2}) - 4 y^{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.9.1.1

Fatore $y$ de $- 4 y^{3} \cdot 2$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2}) + y (- 4 y^{2} \cdot 2)}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.9.1.2

Fatore $y$ de $y (1 - 8 x^{2}) + y (- 4 y^{2} \cdot 2)$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2} - 4 y^{2} \cdot 2)}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.9.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2} - 8 y^{2})}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$

Etapa 5.6.3.10

Para escrever $\frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2} - 8 y^{2})}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.6.3.11

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.6.3.11.1

Multiplique $\frac{2 x y}{4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2} - 8 y^{2})}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{2 x y \cdot 2}{(4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}) \cdot 2}$

Etapa 5.6.3.11.2

Reordene os fatores de $(4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2}) \cdot 2$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2} - 8 y^{2})}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})} + \frac{2 x y \cdot 2}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2} - 8 y^{2}) + 2 x y \cdot 2}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.13.1

Fatore $y$ de $y (1 - 8 x^{2} - 8 y^{2}) + 2 x y \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.13.1.1

Fatore $y$ de $2 x y \cdot 2$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2} - 8 y^{2}) + y (2 x \cdot 2)}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.13.1.2

Fatore $y$ de $y (1 - 8 x^{2} - 8 y^{2}) + y (2 x \cdot 2)$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2} - 8 y^{2} + 2 x \cdot 2)}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 5.6.3.13.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x' = \frac{y (1 - 8 x^{2} - 8 y^{2} + 4 x)}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (1 - 8 x^{2} - 8 y^{2} + 4 x)}{2 (4 x^{3} + 4 y^{2} x - y^{2} - 3 x^{2})}$