Álgebra Exemplos

$y = x {(x - 4)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x {(x - 4)}^{3})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Use o teorema binomial.

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3})]$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3})]$

Etapa 3.2.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3})]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $16$ por $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3})]$

Etapa 3.2.4

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$\frac{d}{d y} [x (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ .

$x \frac{d}{d y} [x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64] + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]$ .

$x (\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x$ .

$x (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.6

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x (3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.7

Como $- 12$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $y$ é $- 12 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$x (3 x^{2} x' - 12 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.9

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.10

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + \frac{d}{d y} [48 x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.11

Como $48$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $48 x$ em relação a $y$ é $48 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.12

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x' + \frac{d}{d y} [- 64]) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.13

Como $- 64$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 64$ em relação a $y$ é $0$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x' + 0) + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.14

Some $3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x'$ e $0$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.15

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x (3 x^{2} x' - 24 x x' + 48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) x'$

Etapa 3.16

Simplifique.

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Etapa 3.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (3 x^{2} x') + x (- 24 x x') + x (48 x') + (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) x'$

Etapa 3.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (3 x^{2} x') + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Etapa 3.16.3

Combine os termos.

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Etapa 3.16.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (x^{1} x^{2}) x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Etapa 3.16.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{1 + 2} x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Etapa 3.16.3.3

Some $1$ e $2$ .

$3 x^{3} x' + x (- 24 x x') + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Etapa 3.16.3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 (x^{1} x) x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Etapa 3.16.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 (x^{1} x^{1}) x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Etapa 3.16.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{3} x' - 24 x^{1 + 1} x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Etapa 3.16.3.7

Some $1$ e $1$ .

$3 x^{3} x' - 24 x^{2} x' + x (48 x') + x^{3} x' - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Etapa 3.16.3.8

Some $3 x^{3} x'$ e $x^{3} x'$ .

$4 x^{3} x' - 24 x^{2} x' + x (48 x') - 12 x^{2} x' + 48 x x' - 64 x'$

Etapa 3.16.3.9

Subtraia $12 x^{2} x'$ de $- 24 x^{2} x'$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + x (48 x') + 48 x x' - 64 x'$

Etapa 3.16.3.10

Some $x (48 x')$ e $48 x x'$ .

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Etapa 3.16.3.10.1

Reordene $x$ e $48$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 48 \cdot x x' + 48 x x' - 64 x'$

Etapa 3.16.3.10.2

Some $48 \cdot x x'$ e $48 x x'$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$ .

$4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$

Etapa 5.2

Fatore $4 x'$ de $4 x^{3} x' - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $4 x'$ de $4 x^{3} x'$ .

$4 x' x^{3} - 36 x^{2} x' + 96 x x' - 64 x' = 1$

Etapa 5.2.2

Fatore $4 x'$ de $- 36 x^{2} x'$ .

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 96 x x' - 64 x' = 1$

Etapa 5.2.3

Fatore $4 x'$ de $96 x x'$ .

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) - 64 x' = 1$

Etapa 5.2.4

Fatore $4 x'$ de $- 64 x'$ .

$4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Etapa 5.2.5

Fatore $4 x'$ de $4 x' x^{3} + 4 x' (- 9 x^{2})$ .

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 x' (24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Etapa 5.2.6

Fatore $4 x'$ de $4 x' (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 x' (24 x)$ .

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 x' \cdot - 16 = 1$

Etapa 5.2.7

Fatore $4 x'$ de $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 x' \cdot - 16$ .

$4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$ por $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 1$ por $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)$ .

$\frac{4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16)}$