Álgebra Exemplos

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} \geq 3$

Etapa 1

Resolva $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $x^{2} + 2 x - 8$ .

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 2 x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Etapa 1.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$5 x = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Simplifique $3 (x^{2} + 2 x - 8)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x = 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8$

Etapa 1.2.2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$5 x = 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot - 8$

Etapa 1.2.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$5 x = 3 x^{2} + 6 x - 24$

Etapa 1.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$3 x^{2} + 6 x - 24 = 5 x$

Etapa 1.3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 6 x - 24 - 5 x = 0$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $5 x$ de $6 x$ .

$3 x^{2} + x - 24 = 0$

Etapa 1.3.3

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ e cuja soma é $b = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique por $1$ .

$3 x^{2} + 1 x - 24 = 0$

Etapa 1.3.3.1.2

Reescreva $1$ como $- 8$ mais $9$

$3 x^{2} + (- 8 + 9) x - 24 = 0$

Etapa 1.3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 9 x - 24 = 0$

Etapa 1.3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 8 x) + 9 x - 24 = 0$

Etapa 1.3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x - 8) + 3 (3 x - 8) = 0$

Etapa 1.3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 8$ .

$(3 x - 8) (x + 3) = 0$

Etapa 1.3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 1.3.5

Defina $3 x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Defina $3 x - 8$ como igual a $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Etapa 1.3.5.2

Resolva $3 x - 8 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$3 x = 8$

Etapa 1.3.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 8$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 8$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Etapa 1.3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Etapa 1.3.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Etapa 1.3.6

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 8) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{8}{3}, - 3$

Etapa 1.4

Encontre o domínio de $\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Defina o denominador em $\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Etapa 1.4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 1.4.2.2

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.4.2.3

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 1.4.2.3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 1.4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 4$

Etapa 1.4.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 1.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < \frac{8}{3}$

$x > \frac{8}{3}$

Etapa 1.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 1.6.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{5 (- 6)}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8} \geq 3$

Etapa 1.6.1.3

O lado esquerdo $- 1.875$ é menor do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.6.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3.5$

Etapa 1.6.2.2

Substitua $x$ por $- 3.5$ na desigualdade original.

$\frac{5 (- 3.5)}{{(- 3.5)}^{2} + 2 (- 3.5) - 8} \geq 3$

Etapa 1.6.2.3

O lado esquerdo $6.\overline{36}$ é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.6.3

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.6.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 8} \geq 3$

Etapa 1.6.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.6.4

Teste um valor no intervalo $2 < x < \frac{8}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < \frac{8}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2.33$

Etapa 1.6.4.2

Substitua $x$ por $2.33$ na desigualdade original.

$\frac{5 (2.33)}{{(2.33)}^{2} + 2 (2.33) - 8} \geq 3$

Etapa 1.6.4.3

O lado esquerdo $5.57709799$ é maior do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.6.5

Teste um valor no intervalo $x > \frac{8}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{8}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 5$

Etapa 1.6.5.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\frac{5 (5)}{{(5)}^{2} + 2 (5) - 8} \geq 3$

Etapa 1.6.5.3

O lado esquerdo $0.\overline{925}$ é menor do que o lado direito $3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.6.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 2$ Falso

$2 < x < \frac{8}{3}$ Verdadeiro

$x > \frac{8}{3}$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 2$ Falso

$2 < x < \frac{8}{3}$ Verdadeiro

$x > \frac{8}{3}$ Falso

Etapa 1.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 < x \leq - 3$ ou $2 < x \leq \frac{8}{3}$

Etapa 2

Use a desigualdade $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ para criar a notação do conjunto.

${x | - 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}}$

Etapa 3