Álgebra Exemplos

$x^{2} + 77 = {(2 + y^{2})}^{4}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 77) = \frac{d}{d x} ({(2 + y^{2})}^{4})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 77$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [77]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [77]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [77]$

Etapa 2.3

Como $77$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $77$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.4

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use o teorema binomial.

$\frac{d}{d x} [2^{4} + 4 \cdot 2^{3} y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Etapa 3.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 4 \cdot 2^{3} y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Etapa 3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 4 \cdot 8 y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $4$ por $8$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Etapa 3.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 6 \cdot 4 {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{2 \cdot 2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Etapa 3.2.1.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Etapa 3.2.1.7

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Etapa 3.2.1.8

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{2 \cdot 3} + {(y^{2})}^{4}]$

Etapa 3.2.1.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + {(y^{2})}^{4}]$

Etapa 3.2.1.9

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{4}$ .

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Etapa 3.2.1.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + y^{2 \cdot 4}]$

Etapa 3.2.1.9.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + y^{8}]$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + y^{8}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.2.3

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.2.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [32 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.2.5

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 y^{2}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$32 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$32 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$32 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $32$ .

$64 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$64 y y' + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.6

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 y^{4}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$64 y y' + 24 \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$64 y y' + 24 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$64 y y' + 24 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$64 y y' + 24 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.8

Multiplique $4$ por $24$ .

$64 y y' + 96 (y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.9

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.10

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 y^{6}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 \frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.11.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.11.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.11.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 (6 y^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.12

Multiplique $6$ por $8$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 (y^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.13

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Etapa 3.14

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.14.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{4}$ como $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{8}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.14.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ é $n {u_{4}}^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 {u_{4}}^{7} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.14.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.15

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x = 64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$

Etapa 5.2

Fatore $8 y y'$ de $64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $8 y y'$ de $64 y y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$

Etapa 5.2.2

Fatore $8 y y'$ de $96 y^{3} y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2}) + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$

Etapa 5.2.3

Fatore $8 y y'$ de $48 y^{5} y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4}) + 8 y^{7} y' = 2 x$

Etapa 5.2.4

Fatore $8 y y'$ de $8 y^{7} y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4}) + 8 y y' y^{6} = 2 x$

Etapa 5.2.5

Fatore $8 y y'$ de $8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2})$ .

$8 y y' (8 + 12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4}) + 8 y y' y^{6} = 2 x$

Etapa 5.2.6

Fatore $8 y y'$ de $8 y y' (8 + 12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4})$ .

$8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4}) + 8 y y' y^{6} = 2 x$

Etapa 5.2.7

Fatore $8 y y'$ de $8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4}) + 8 y y' y^{6}$ .

$8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}) = 2 x$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}) = 2 x$ por $8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}) = 2 x$ por $8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})$ .

$\frac{8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}))}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 x}{2 (4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}))}$

Etapa 5.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x}{4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$