Álgebra Exemplos

$s = \sqrt{4 x^{2} + 6 y^{2}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 x^{2} + 6 y^{2}}$ como ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$s = {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (s) = \frac{d}{d x} ({(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

Como $s$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $s$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Etapa 4.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Etapa 4.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Etapa 4.6.2.2

Mova ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Etapa 4.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 6 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Etapa 4.6.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Etapa 4.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Etapa 4.6.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Etapa 4.6.7

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 y^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 4.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 4.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 4.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 4.8

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 4.9

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 y y')$

Etapa 4.10

Simplifique.

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Etapa 4.10.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 y y')$ .

$(8 x + 12 y y') \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.2

Multiplique $8 x + 12 y y'$ por $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x + 12 y y'}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.3

Fatore $2$ de $8 x$ .

$\frac{2 (4 x) + 12 y y'}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.4

Fatore $2$ de $12 y y'$ .

$\frac{2 (4 x) + 2 (6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.5

Fatore $2$ de $2 (4 x) + 2 (6 y y')$ .

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.10.6.1

Fatore $2$ de $2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 ({(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.10.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x + 6 y y'}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.7

Fatore $2$ de $4 x + 6 y y'$ .

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Etapa 4.10.7.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) + 6 y y'}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.7.2

Fatore $2$ de $6 y y'$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.10.7.3

Fatore $2$ de $2 (2 x) + 2 (3 y y')$ .

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$0 = \frac{2 (2 x + 3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (2 x + 3 y y') = 0$

Etapa 6.2

Resolva a equação para $y'$ .

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $2 (2 x + 3 y y') = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1.1

Divida cada termo em $2 (2 x + 3 y y') = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 6.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 6.2.1.2.1.2

Divida $2 x + 3 y y'$ por $1$ .

$2 x + 3 y y' = \frac{0}{2}$

Etapa 6.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$2 x + 3 y y' = 0$

Etapa 6.2.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$3 y y' = - 2 x$

Etapa 6.2.3

Divida cada termo em $3 y y' = - 2 x$ por $3 y$ e simplifique.

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Etapa 6.2.3.1

Divida cada termo em $3 y y' = - 2 x$ por $3 y$ .

$\frac{3 y y'}{3 y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Etapa 6.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y y'}{3 y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Etapa 6.2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 y}$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x}{3 y}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3 y}$