Álgebra Exemplos

$\ln (x^{2} + y^{2}) = x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2 x + 2 y y'$ por $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.5.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 y y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.5.3.2

Fatore $2$ de $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 2.5.3.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$x y' + y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} = x y' + y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 (x + y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 2 (y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.3.1

Mova $y$ .

$2 x + 2 y' y = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.1.1.3.2

Reordene $2 x$ e $2 y' y$ .

$2 y' y + 2 x = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Expanda $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' y + 2 x = x y' (x^{2} + y^{2}) + y (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y (x^{2} + y^{2})$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$2 y' y + 2 x = x^{2} x y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{2} x^{1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 y' y + 2 x = x^{2 + 1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2.1.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1.2.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1} y^{2}$

Etapa 5.2.2.1.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1 + 2}$

Etapa 5.2.2.1.2.1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Simplifique com comutação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.2.1

Reordene $x^{3}$ e $y'$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Etapa 5.2.2.1.2.2.2

Reordene $x$ e $y'$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Etapa 5.2.2.1.2.2.3

Reordene $y$ e $x^{2}$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3}$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} = 2 y' y + 2 x$

Etapa 5.3.2

Subtraia $2 y' y$ dos dois lados da equação.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} - 2 y' y = 2 x$

Etapa 5.3.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Subtraia $x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + y^{3} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y$

Etapa 5.3.3.2

Subtraia $y^{3}$ dos dois lados da equação.

$y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Etapa 5.3.4

Fatore $y'$ de $y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Fatore $y'$ de $y' x^{3}$ .

$y' (x^{3}) + y' (x) y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Etapa 5.3.4.2

Fatore $y'$ de $y' x y^{2}$ .

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Etapa 5.3.4.3

Fatore $y'$ de $- 2 y' y$ .

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Etapa 5.3.4.4

Fatore $y'$ de $y' (x^{3}) + y' (x y^{2})$ .

$y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Etapa 5.3.4.5

Fatore $y'$ de $y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Etapa 5.3.5

Divida cada termo em $y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ por $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Divida cada termo em $y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ por $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.5.3.2

Combine em uma fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x - x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Etapa 5.3.5.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$