Álgebra Exemplos

${(x + \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 1

Use o teorema da expansão binomial para encontrar cada termo. De acordo com o teorema binomial, ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}$

Etapa 2

Expanda a soma.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 3

Simplifique os expoentes de cada termo da expansão.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(x)}^{3}$ por $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \cdot \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{3} \cdot \frac{1}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{3} \cdot \frac{1}{1} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.5

Divida $1$ por $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.6

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.7

Simplifique.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.8

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.8.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.8.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.8.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} + 3 x + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.9

Simplifique.

$x^{3} + 3 x + 3 \cdot x \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.10

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} + 3 x + 3 x \cdot \frac{1^{2}}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$x^{3} + 3 x + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.12

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.12.1

Fatore $x$ de $3 x$ .

$x^{3} + 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.12.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.12.3

Cancele o fator comum.

$x^{3} + 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.12.4

Reescreva a expressão.

$x^{3} + 3 x + 3 \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.13

Combine $3$ e $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.14

Multiplique ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.15

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.16

Multiplique ${(\frac{1}{x})}^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.17

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Etapa 4.18

Um elevado a qualquer potência é um.

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{3}}$