Álgebra Exemplos

$\frac{22 x}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ e cuja soma é $b = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{22 x}{6 x^{2} + 5 (x) - 4}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $5$ como $- 3$ mais $8$

$\frac{22 x}{6 x^{2} + (- 3 + 8) x - 4}$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{22 x}{6 x^{2} - 3 x + 8 x - 4}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{22 x}{(6 x^{2} - 3 x) + 8 x - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{22 x}{3 x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{22 x}{(2 x - 1) (3 x + 4)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{3 x + 4}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 x - 1) (3 x + 4)$ .

$\frac{22 x (2 x - 1) (3 x + 4)}{(2 x - 1) (3 x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (3 x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (3 x + 4)}{3 x + 4}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{22 x (2 x - 1) (3 x + 4)}{(2 x - 1) (3 x + 4)} = \frac{(A) (2 x - 1) (3 x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (3 x + 4)}{3 x + 4}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{22 x (3 x + 4)}{3 x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (3 x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (3 x + 4)}{3 x + 4}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $3 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{22 x (3 x + 4)}{3 x + 4} = \frac{(A) (2 x - 1) (3 x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (3 x + 4)}{3 x + 4}$

Etapa 1.6.2

Divida $22 x$ por $1$ .

$22 x = \frac{(A) (2 x - 1) (3 x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (3 x + 4)}{3 x + 4}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$22 x = \frac{A (2 x - 1) (3 x + 4)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (3 x + 4)}{3 x + 4}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (3 x + 4)$ por $1$ .

$22 x = (A) (3 x + 4) + \frac{(B) (2 x - 1) (3 x + 4)}{3 x + 4}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$22 x = A (3 x) + A \cdot 4 + \frac{(B) (2 x - 1) (3 x + 4)}{3 x + 4}$

Etapa 1.7.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$22 x = 3 A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (2 x - 1) (3 x + 4)}{3 x + 4}$

Etapa 1.7.4

Mova $4$ para a esquerda de $A$ .

$22 x = 3 A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (3 x + 4)}{3 x + 4}$

Etapa 1.7.5

Cancele o fator comum de $3 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.5.1

Cancele o fator comum.

$22 x = 3 A x + 4 A + \frac{(B) (2 x - 1) (3 x + 4)}{3 x + 4}$

Etapa 1.7.5.2

Divida $(B) (2 x - 1)$ por $1$ .

$22 x = 3 A x + 4 A + (B) (2 x - 1)$

Etapa 1.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$22 x = 3 A x + 4 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Etapa 1.7.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$22 x = 3 A x + 4 A + 2 B x + B \cdot - 1$

Etapa 1.7.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$22 x = 3 A x + 4 A + 2 B x - 1 \cdot B$

Etapa 1.7.9

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$22 x = 3 A x + 4 A + 2 B x - B$

Etapa 1.8

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Mova $A$ .

$22 x = 3 x A + 4 A + 2 B x - B$

Etapa 1.8.2

Mova $B$ .

$22 x = 3 x A + 4 A + 2 x B - B$

Etapa 1.8.3

Mova $4 A$ .

$22 x = 3 x A + 2 x B + 4 A - B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$22 = 3 A + 2 B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 4 A - 1 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$22 = 3 A + 2 B$

$0 = 4 A - 1 B$

$22 = 3 A + 2 B$

$0 = 4 A - 1 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $A$ em $22 = 3 A + 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $3 A + 2 B = 22$ .

$3 A + 2 B = 22$

$0 = 4 A - 1 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $2 B$ dos dois lados da equação.

$3 A = 22 - 2 B$

$0 = 4 A - 1 B$

Etapa 3.1.3

Divida cada termo em $3 A = 22 - 2 B$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Divida cada termo em $3 A = 22 - 2 B$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{22}{3} + \frac{- 2 B}{3}$

$0 = 4 A - 1 B$

Etapa 3.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 A}{3} = \frac{22}{3} + \frac{- 2 B}{3}$

$0 = 4 A - 1 B$

Etapa 3.1.3.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{22}{3} + \frac{- 2 B}{3}$

$0 = 4 A - 1 B$

$A = \frac{22}{3} + \frac{- 2 B}{3}$

$0 = 4 A - 1 B$

$A = \frac{22}{3} + \frac{- 2 B}{3}$

$0 = 4 A - 1 B$

Etapa 3.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$0 = 4 A - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$0 = 4 A - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$0 = 4 A - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$0 = 4 A - 1 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 4 A - 1 B$ por $\frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$ .

$0 = 4 (\frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}) - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $4 (\frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}) - 1 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = 4 (\frac{22}{3}) + 4 (- \frac{2 B}{3}) - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $4 (\frac{22}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.1

Combine $4$ e $\frac{22}{3}$ .

$0 = \frac{4 \cdot 22}{3} + 4 (- \frac{2 B}{3}) - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.1.2.2

Multiplique $4$ por $22$ .

$0 = \frac{88}{3} + 4 (- \frac{2 B}{3}) - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$0 = \frac{88}{3} + 4 (- \frac{2 B}{3}) - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $4 (- \frac{2 B}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$0 = \frac{88}{3} - 4 \frac{2 B}{3} - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.1.3.2

Combine $- 4$ e $\frac{2 B}{3}$ .

$0 = \frac{88}{3} + \frac{- 4 (2 B)}{3} - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$0 = \frac{88}{3} + \frac{- 8 B}{3} - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$0 = \frac{88}{3} + \frac{- 8 B}{3} - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 = \frac{88}{3} - \frac{8 B}{3} - 1 B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.1.5

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$0 = \frac{88}{3} - \frac{8 B}{3} - B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$0 = \frac{88}{3} - \frac{8 B}{3} - B$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Para escrever $- B$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$0 = \frac{88}{3} - \frac{8 B}{3} - B \cdot \frac{3}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.3

Combine $- B$ e $\frac{3}{3}$ .

$0 = \frac{88}{3} - \frac{8 B}{3} + \frac{- B \cdot 3}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 = \frac{88}{3} + \frac{- 8 B - B \cdot 3}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 = \frac{88 - 8 B - B \cdot 3}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$0 = \frac{88 - 8 B - 3 B}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.7

Subtraia $3 B$ de $- 8 B$ .

$0 = \frac{88 - 11 B}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.8

Fatore $11$ de $88 - 11 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.8.1

Fatore $11$ de $88$ .

$0 = \frac{11 (8) - 11 B}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.8.2

Fatore $11$ de $- 11 B$ .

$0 = \frac{11 (8) + 11 (- B)}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.2.2.1.8.3

Fatore $11$ de $11 (8) + 11 (- B)$ .

$0 = \frac{11 (8 - B)}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$0 = \frac{11 (8 - B)}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$0 = \frac{11 (8 - B)}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$0 = \frac{11 (8 - B)}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$0 = \frac{11 (8 - B)}{3}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $0 = \frac{11 (8 - B)}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Defina o numerador como igual a zero.

$11 (8 - B) = 0$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.3.2

Resolva a equação para $B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $11 (8 - B) = 0$ por $11$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Divida cada termo em $11 (8 - B) = 0$ por $11$ .

$\frac{11 (8 - B)}{11} = \frac{0}{11}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11 (8 - B)}{11} = \frac{0}{11}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.3.2.1.2.1.2

Divida $8 - B$ por $1$ .

$8 - B = \frac{0}{11}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$8 - B = \frac{0}{11}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$8 - B = \frac{0}{11}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $11$ .

$8 - B = 0$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$8 - B = 0$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$8 - B = 0$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- B = - 8$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.3.2.3

Divida cada termo em $- B = - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Divida cada termo em $- B = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.3.2.3.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 8}{- 1}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$B = \frac{- 8}{- 1}$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$B = 8$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$B = 8$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$B = 8$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$B = 8$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

$B = 8$

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $8$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = \frac{22}{3} - \frac{2 B}{3}$ por $8$ .

$A = \frac{22}{3} - \frac{2 (8)}{3}$

$B = 8$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique $\frac{22}{3} - \frac{2 (8)}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{22 - 2 \cdot 8}{3}$

$B = 8$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$A = \frac{22 - 16}{3}$

$B = 8$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Subtraia $16$ de $22$ .

$A = \frac{6}{3}$

$B = 8$

Etapa 3.4.2.1.2.3

Divida $6$ por $3$ .

$A = 2$

$B = 8$

$A = 2$

$B = 8$

$A = 2$

$B = 8$

$A = 2$

$B = 8$

$A = 2$

$B = 8$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = 2, B = 8$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{3 x + 4}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{2}{2 x - 1} + \frac{8}{3 x + 4}$