Álgebra Exemplos

$y = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ é indefinida.

$x < 0, x = \sqrt{5}$

Etapa 2

$\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ a partir da esquerda e $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = \sqrt{5}$

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 10}{x^{2}}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{4}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Etapa 3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{4}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Etapa 3.2.2.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.3.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Etapa 3.2.2.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Etapa 3.2.2.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Etapa 3.2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Etapa 3.2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Etapa 3.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Etapa 3.4

Avalie o limite.

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Etapa 3.4.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}$

Etapa 3.4.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}$

Etapa 3.4.3

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{2 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 3.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{2 - 10 \cdot 0}$

Etapa 3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{2 - 10 \cdot 0}$

Etapa 3.6.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{2 - 10 \cdot 0}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.6.2.1

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$\frac{0}{2 + 0}$

Etapa 3.6.2.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{0}{2}$

Etapa 3.6.3

Divida $0$ por $2$ .

$0$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 0$

Etapa 5

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = \sqrt{5}$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 7