Álgebra Exemplos

$x^{4} + 41 x^{2} + 400$

Etapa 1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} + 41 x^{2} + 400$

Etapa 2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$u^{2} + 41 u + 400$

Etapa 3

Fatore $u^{2} + 41 u + 400$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $400$ e cuja soma é $41$ .

$16, 25$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u + 16) (u + 25)$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x^{2} + 16) (x^{2} + 25)$

Etapa 5

Fatore em relação aos números complexos.

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Etapa 5.1

Multiplique a constante no polinômio $x^{2} + 16$ por $- i^{2}$ , em que $i^{2}$ é igual a $- 1$ .

$(x^{2} - 16 i^{2}) (x^{2} + 25)$

Etapa 5.2

Multiplique a constante no polinômio $x^{2} + 25$ por $- i^{2}$ , em que $i^{2}$ é igual a $- 1$ .

$(x^{2} - 16 i^{2}) (x^{2} - 25 i^{2})$

Etapa 5.3

Reescreva $16 i^{2}$ como ${(4 i)}^{2}$ .

$(x^{2} - {(4 i)}^{2}) (x^{2} - 25 i^{2})$

Etapa 5.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ em que $a = x$ e $i = 4 i$ .

$(x + 4 i) (x - (4 i)) (x^{2} - 25 i^{2})$

Etapa 5.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(x + 4 i) (x - 4 i) (x^{2} - 25 i^{2})$

Etapa 5.6

Reescreva $25 i^{2}$ como ${(5 i)}^{2}$ .

$(x + 4 i) (x - 4 i) (x^{2} - {(5 i)}^{2})$

Etapa 5.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ em que $a = x$ e $i = 5 i$ .

$(x + 4 i) (x - 4 i) ((x + 5 i) (x - (5 i)))$

Etapa 5.8

Fatore.

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Etapa 5.8.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$(x + 4 i) (x - 4 i) ((x + 5 i) (x - 5 i))$

Etapa 5.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 4 i) (x - 4 i) (x + 5 i) (x - 5 i)$