Álgebra Exemplos

${(x + \frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(x + \frac{1}{x})}^{4}$ , $n = 4$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $5$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $x$ e $b$ $\frac{1}{x}$ na expressão.

$1 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique ${(x)}^{4}$ por $1$ .

${(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{0} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{4} \frac{1}{x^{0}} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{4} \frac{1}{1} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.5

Divida $1$ por $1$ .

$x^{4} \cdot 1 + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.6

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + 4 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{1} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.7

Simplifique.

$x^{4} + 4 x^{3} \frac{1}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.8

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Fatore $x$ de $4 x^{3}$ .

$x^{4} + x (4 x^{2}) \frac{1}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.8.2

Cancele o fator comum.

$x^{4} + x (4 x^{2}) \frac{1}{x} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.8.3

Reescreva a expressão.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.9

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 x^{2} \frac{1^{2}}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.11

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.1

Fatore $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + x^{2} \cdot 6 \frac{1}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.11.2

Cancele o fator comum.

$x^{4} + 4 x^{2} + x^{2} \cdot 6 \frac{1}{x^{2}} + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.11.3

Reescreva a expressão.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + 4 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.12

Simplifique.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + 4 x {(\frac{1}{x})}^{3} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.13

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + 4 x \frac{1^{3}}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.14

Um elevado a qualquer potência é um.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + 4 x \frac{1}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.15

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.15.1

Fatore $x$ de $4 x$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + x \cdot 4 \frac{1}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.15.2

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + x \cdot 4 \frac{1}{x \cdot x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.15.3

Cancele o fator comum.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + x \cdot 4 \frac{1}{x \cdot x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.15.4

Reescreva a expressão.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + 4 \frac{1}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.16

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x^{2}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.17

Multiplique ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x^{2}} + {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.18

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x^{2}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.19

Multiplique ${(\frac{1}{x})}^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x^{2}} + {(\frac{1}{x})}^{4}$

Etapa 4.20

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x^{2}} + \frac{1^{4}}{x^{4}}$

Etapa 4.21

Um elevado a qualquer potência é um.

$x^{4} + 4 x^{2} + 6 + \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}$