Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 3$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 4 x^{2} + 3$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 3 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2.2

Fatore $u^{2} - 4 u + 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 3, - 1$

Etapa 2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $u - 3$ como igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 2.5

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 3) (u - 1) = 0$ verdadeiro. A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que ela aparece.

$u = 3$ (Multiplicidade de $1$ )

$u = 1$ (Multiplicidade de $1$ )

Etapa 2.7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 2.8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 3$

Etapa 2.9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.9.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.9.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 2.9.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 2.9.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 2.9.3

A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que a raiz aparece. Por exemplo, um fator de ${(x + 5)}^{3}$ tem uma raiz em $x = - 5$ , com multiplicidade de $3$ .

$x = \sqrt{3}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Multiplicidade de $1$ )

Etapa 2.10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 2.11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 1$

Etapa 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.11.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 2.11.5

A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que a raiz aparece. Por exemplo, um fator de ${(x + 5)}^{3}$ tem uma raiz em $x = - 5$ , com multiplicidade de $3$ .

$x = 1$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - 1$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = 1$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - 1$ (Multiplicidade de $1$ )

Etapa 2.12

A solução para $x^{4} - 4 x^{2} + 3 = 0$ é $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$ .

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$

Forma decimal:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 1, - 1$

Etapa 4