Álgebra Exemplos

$x^{6} - 8 x^{5} + 12 x^{4} + 80 x^{3} - 416 x^{2} + 768 x - 512$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128, \pm 256, \pm 512$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64, \pm 128, \pm 256, \pm 512$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(2)}^{6} - 8 {(2)}^{5} + 12 {(2)}^{4} + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 2$ é a raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $2$ à potência de $6$ .

$64 - 8 {(2)}^{5} + 12 {(2)}^{4} + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Etapa 4.1.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$64 - 8 \cdot 32 + 12 {(2)}^{4} + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 8$ por $32$ .

$64 - 256 + 12 {(2)}^{4} + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Etapa 4.1.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$64 - 256 + 12 \cdot 16 + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Etapa 4.1.5

Multiplique $12$ por $16$ .

$64 - 256 + 192 + 80 {(2)}^{3} - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Etapa 4.1.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$64 - 256 + 192 + 80 \cdot 8 - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Etapa 4.1.7

Multiplique $80$ por $8$ .

$64 - 256 + 192 + 640 - 416 {(2)}^{2} + 768 (2) - 512$

Etapa 4.1.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$64 - 256 + 192 + 640 - 416 \cdot 4 + 768 (2) - 512$

Etapa 4.1.9

Multiplique $- 416$ por $4$ .

$64 - 256 + 192 + 640 - 1664 + 768 (2) - 512$

Etapa 4.1.10

Multiplique $768$ por $2$ .

$64 - 256 + 192 + 640 - 1664 + 1536 - 512$

Etapa 4.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $256$ de $64$ .

$- 192 + 192 + 640 - 1664 + 1536 - 512$

Etapa 4.2.2

Some $- 192$ e $192$ .

$0 + 640 - 1664 + 1536 - 512$

Etapa 4.2.3

Some $0$ e $640$ .

$640 - 1664 + 1536 - 512$

Etapa 4.2.4

Subtraia $1664$ de $640$ .

$- 1024 + 1536 - 512$

Etapa 4.2.5

Some $- 1024$ e $1536$ .

$512 - 512$

Etapa 4.2.6

Subtraia $512$ de $512$ .

$0$

Etapa 5

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{6} - 8 x^{5} + 12 x^{4} + 80 x^{3} - 416 x^{2} + 768 x - 512}{x - 2}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$
	$1$	$- 6$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 6)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(- 12)$ sob o próximo termo no dividendo $(12)$ .

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$
	$1$	$- 6$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$
	$1$	$- 6$	$0$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(80)$ .

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$
	$1$	$- 6$	$0$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(80)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(160)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 416)$ .

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 256)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(- 512)$ sob o próximo termo no dividendo $(768)$ .

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$	$- 512$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$	$- 512$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$	$256$

Etapa 6.13

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(256)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(512)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 512)$ .

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$	$- 512$	$512$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$	$256$

Etapa 6.14

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$- 8$	$12$	$80$	$- 416$	$768$	$- 512$
		$2$	$- 12$	$0$	$160$	$- 512$	$512$
	$1$	$- 6$	$0$	$80$	$- 256$	$256$	$0$

Etapa 6.15

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{5} + - 6 x^{4} + 0 x^{3} + 80 x^{2} + (- 256) x + 256$

Etapa 6.16

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{5} - 6 x^{4} + 80 x^{2} - 256 x + 256$

Etapa 7

Resolva a equação para encontrar todas as raízes restantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{5} - 256 x - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $x$ de $x^{5} - 256 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 256 x - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Etapa 7.1.2.2

Fatore $x$ de $- 256 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 256 - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Etapa 7.1.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x \cdot - 256$ .

$x (x^{4} - 256) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Etapa 7.1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 256) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Etapa 7.1.4

Reescreva $256$ como $16^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 16^{2}) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Etapa 7.1.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 16$ .

$x ((x^{2} + 16) (x^{2} - 16)) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Etapa 7.1.6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x ((x^{2} + 16) (x^{2} - 4^{2})) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Etapa 7.1.6.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.6.1.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$x ((x^{2} + 16) ((x + 4) (x - 4))) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Etapa 7.1.6.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x ((x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Etapa 7.1.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) - 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256 = 0$

Etapa 7.1.7

Fatore $2$ de $- 6 x^{4} + 80 x^{2} + 256$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.7.1

Fatore $2$ de $- 6 x^{4}$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4}) + 80 x^{2} + 256 = 0$

Etapa 7.1.7.2

Fatore $2$ de $80 x^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (40 x^{2}) + 256 = 0$

Etapa 7.1.7.3

Fatore $2$ de $256$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4}) + 2 (40 x^{2}) + 2 (128) = 0$

Etapa 7.1.7.4

Fatore $2$ de $2 (- 3 x^{4}) + 2 (40 x^{2})$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4} + 40 x^{2}) + 2 (128) = 0$

Etapa 7.1.7.5

Fatore $2$ de $2 (- 3 x^{4} + 40 x^{2}) + 2 (128)$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{4} + 40 x^{2} + 128) = 0$

Etapa 7.1.8

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 {(x^{2})}^{2} + 40 x^{2} + 128) = 0$

Etapa 7.1.9

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 u^{2} + 40 u + 128) = 0$

Etapa 7.1.10

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.10.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot 128 = - 384$ e cuja soma é $b = 40$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.10.1.1

Fatore $40$ de $40 u$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 u^{2} + 40 (u) + 128) = 0$

Etapa 7.1.10.1.2

Reescreva $40$ como $- 8$ mais $48$

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 u^{2} + (- 8 + 48) u + 128) = 0$

Etapa 7.1.10.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 u^{2} - 8 u + 48 u + 128) = 0$

Etapa 7.1.10.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.10.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 u^{2} - 8 u) + 48 u + 128) = 0$

Etapa 7.1.10.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (u (- 3 u - 8) - 16 (- 3 u - 8)) = 0$

Etapa 7.1.10.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 u - 8$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 u - 8) (u - 16)) = 0$

Etapa 7.1.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 x^{2} - 8) (x^{2} - 16)) = 0$

Etapa 7.1.12

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 x^{2} - 8) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Etapa 7.1.13

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.13.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.13.1.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 x^{2} - 8) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Etapa 7.1.13.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 ((- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Etapa 7.1.13.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4) = 0$

Etapa 7.1.14

Fatore $(x + 4) (x - 4)$ de $x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4) + 2 (- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.14.1

Fatore $(x + 4) (x - 4)$ de $x (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)$ .

$(x + 4) (x - 4) (x (x^{2} + 16)) + 2 (- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4) = 0$

Etapa 7.1.14.2

Fatore $(x + 4) (x - 4)$ de $2 (- 3 x^{2} - 8) (x + 4) (x - 4)$ .

$(x + 4) (x - 4) (x (x^{2} + 16)) + (x + 4) (x - 4) (2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Etapa 7.1.14.3

Fatore $(x + 4) (x - 4)$ de $(x + 4) (x - 4) (x (x^{2} + 16)) + (x + 4) (x - 4) (2 (- 3 x^{2} - 8))$ .

$(x + 4) (x - 4) (x (x^{2} + 16) + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Etapa 7.1.15

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 16 + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Etapa 7.1.16

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.16.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.16.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 16 + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Etapa 7.1.16.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x + 4) (x - 4) (x^{1 + 2} + x \cdot 16 + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Etapa 7.1.16.2

Some $1$ e $2$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x \cdot 16 + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Etapa 7.1.17

Mova $16$ para a esquerda de $x$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + 16 x + 2 (- 3 x^{2} - 8)) = 0$

Etapa 7.1.18

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + 16 x + 2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot - 8) = 0$

Etapa 7.1.19

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + 16 x - 6 x^{2} + 2 \cdot - 8) = 0$

Etapa 7.1.20

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + 16 x - 6 x^{2} - 16) = 0$

Etapa 7.1.21

Reordene os termos.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16) = 0$

Etapa 7.1.22

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.22.1

Fatore $x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.22.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 7.1.22.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Etapa 7.1.22.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.22.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 16$

Etapa 7.1.22.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 16 \cdot 2 - 16$

Etapa 7.1.22.1.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 16 \cdot 2 - 16$

Etapa 7.1.22.1.3.4

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$8 - 24 + 16 \cdot 2 - 16$

Etapa 7.1.22.1.3.5

Subtraia $24$ de $8$ .

$- 16 + 16 \cdot 2 - 16$

Etapa 7.1.22.1.3.6

Multiplique $16$ por $2$ .

$- 16 + 32 - 16$

Etapa 7.1.22.1.3.7

Some $- 16$ e $32$ .

$16 - 16$

Etapa 7.1.22.1.3.8

Subtraia $16$ de $16$ .

$0$

Etapa 7.1.22.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16}{x - 2}$

Etapa 7.1.22.1.5

Divida $x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16$ por $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.22.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$16 x$

$16$

Etapa 7.1.22.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$

Etapa 7.1.22.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.22.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 7.1.22.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Etapa 7.1.22.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Etapa 7.1.22.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Etapa 7.1.22.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 7.1.22.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 7.1.22.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$

Etapa 7.1.22.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$

Etapa 7.1.22.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$

Etapa 7.1.22.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$
							+	$8 x$	-	$16$

Etapa 7.1.22.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 x - 16$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$
							-	$8 x$	+	$16$

Etapa 7.1.22.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$16 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$8 x$	-	$16$
							-	$8 x$	+	$16$
										$0$

Etapa 7.1.22.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 4 x + 8$

Etapa 7.1.22.1.6

Escreva $x^{3} - 6 x^{2} + 16 x - 16$ como um conjunto de fatores.

$(x + 4) (x - 4) ((x - 2) (x^{2} - 4 x + 8)) = 0$

Etapa 7.1.22.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 4) (x - 4) (x - 2) (x^{2} - 4 x + 8) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 4 x + 8 = 0$

Etapa 7.3

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 7.3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 7.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 7.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 7.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 7.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7.6

Defina $x^{2} - 4 x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Defina $x^{2} - 4 x + 8$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 4 x + 8 = 0$

Etapa 7.6.2

Resolva $x^{2} - 4 x + 8 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 8$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.3.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.1.3

Subtraia $32$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.1.4

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2}$

Etapa 7.6.2.3.3

Simplifique $\frac{4 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i$

Etapa 7.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.4.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.1.3

Subtraia $32$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.1.4

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2}$

Etapa 7.6.2.4.3

Simplifique $\frac{4 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i$

Etapa 7.6.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 2 + 2 i$

Etapa 7.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.5.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.1.3

Subtraia $32$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.1.4

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2}$

Etapa 7.6.2.5.3

Simplifique $\frac{4 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i$

Etapa 7.6.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 2 - 2 i$

Etapa 7.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 2 + 2 i, 2 - 2 i$

Etapa 7.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 4) (x - 4) (x - 2) (x^{2} - 4 x + 8) = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 4, 2, 2 + 2 i, 2 - 2 i$

Etapa 8

O polinômio pode ser escrito como um conjunto de fatores lineares.

$(x - 2) (x + 4) (x - 4) (x - 2 - 2 i) (x - 2 + 2 i)$

Etapa 9

Essas são as raízes (zeros) do polinômio $x^{6} - 8 x^{5} + 12 x^{4} + 80 x^{3} - 416 x^{2} + 768 x - 512$ .

$x = 2, - 4, 4, 2 + 2 i, 2 - 2 i$

Etapa 10