Álgebra Exemplos

$\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 1}{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 1}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 1]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 1]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.6

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.8

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.9

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 18 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 18 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.11

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 18 x - 24 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.12

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 18 x - 24 + 0)$

Etapa 1.13

Some $- 3 x^{2} + 18 x - 24$ e $0$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 18 x - 24)$

Etapa 1.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2}) + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.14.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.2

Combine $\frac{- 3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.3

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.14.2.3.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.14.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.3.2.4

Divida $- x^{2}$ por $1$ .

$- x^{2} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.4

Combine $18$ e $\frac{1}{3}$ .

$- x^{2} + \frac{18}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.5

Combine $\frac{18}{3}$ e $x$ .

$- x^{2} + \frac{18 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.6

Cancele o fator comum de $18$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.14.2.6.1

Fatore $3$ de $18 x$ .

$- x^{2} + \frac{3 (6 x)}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.14.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- x^{2} + \frac{3 (6 x)}{3 (1)} + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- x^{2} + \frac{3 (6 x)}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- x^{2} + \frac{6 x}{1} + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.6.2.4

Divida $6 x$ por $1$ .

$- x^{2} + 6 x + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 1.14.2.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 24$ .

$- x^{2} + 6 x + \frac{- 24}{3}$

Etapa 1.14.2.8

Cancele o fator comum de $- 24$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.14.2.8.1

Fatore $3$ de $- 24$ .

$- x^{2} + 6 x + \frac{3 \cdot - 8}{3}$

Etapa 1.14.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.14.2.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- x^{2} + 6 x + \frac{3 \cdot - 8}{3 (1)}$

Etapa 1.14.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- x^{2} + 6 x + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 1}$

Etapa 1.14.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- x^{2} + 6 x + \frac{- 8}{1}$

Etapa 1.14.2.8.2.4

Divida $- 8$ por $1$ .

$- x^{2} + 6 x - 8$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 6 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 x + 6 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- 2 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 x + 6$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- x^{2} + 6 x - 8 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 1}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 1]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.6

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.8

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.9

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 18 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 18 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.11

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 18 x - 24 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 4.1.12

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 18 x - 24 + 0)$

Etapa 4.1.13

Some $- 3 x^{2} + 18 x - 24$ e $0$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2} + 18 x - 24)$

Etapa 4.1.14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2}) + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.2

Combine $\frac{- 3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.3

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.2.3.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.3.2.4

Divida $- x^{2}$ por $1$ .

$- x^{2} + \frac{1}{3} (18 x) + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.4

Combine $18$ e $\frac{1}{3}$ .

$- x^{2} + \frac{18}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.5

Combine $\frac{18}{3}$ e $x$ .

$- x^{2} + \frac{18 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.6

Cancele o fator comum de $18$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.2.6.1

Fatore $3$ de $18 x$ .

$- x^{2} + \frac{3 (6 x)}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- x^{2} + \frac{3 (6 x)}{3 (1)} + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- x^{2} + \frac{3 (6 x)}{3 \cdot 1} + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- x^{2} + \frac{6 x}{1} + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.6.2.4

Divida $6 x$ por $1$ .

$- x^{2} + 6 x + \frac{1}{3} \cdot - 24$

Etapa 4.1.14.2.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 24$ .

$- x^{2} + 6 x + \frac{- 24}{3}$

Etapa 4.1.14.2.8

Cancele o fator comum de $- 24$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.2.8.1

Fatore $3$ de $- 24$ .

$- x^{2} + 6 x + \frac{3 \cdot - 8}{3}$

Etapa 4.1.14.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.2.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- x^{2} + 6 x + \frac{3 \cdot - 8}{3 (1)}$

Etapa 4.1.14.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- x^{2} + 6 x + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 1}$

Etapa 4.1.14.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- x^{2} + 6 x + \frac{- 8}{1}$

Etapa 4.1.14.2.8.2.4

Divida $- 8$ por $1$ .

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 8$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- x^{2} + 6 x - 8$ .

$- x^{2} + 6 x - 8$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- x^{2} + 6 x - 8 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- x^{2} + 6 x - 8 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} + 6 x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 6 x - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $- 1$ de $6 x$ .

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 8 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 1 \cdot 8 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$- (x^{2} - 6 x) - 1 \cdot 8 = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 6 x) - 1 (8)$ .

$- (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x + 8$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 4) (x - 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 4, 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cdot 4 + 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$- 8 + 6$

Etapa 9.2

Some $- 8$ e $6$ .

$- 2$

Etapa 10

$x = 4$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = \frac{- {(4)}^{3} + 9 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 1}{3}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (4) = \frac{- 1 \cdot 64 + 9 \cdot 4^{2} - 24 \cdot 4 + 1}{3}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$f (4) = \frac{- 64 + 9 \cdot 4^{2} - 24 \cdot 4 + 1}{3}$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = \frac{- 64 + 9 \cdot 16 - 24 \cdot 4 + 1}{3}$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $9$ por $16$ .

$f (4) = \frac{- 64 + 144 - 24 \cdot 4 + 1}{3}$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $- 24$ por $4$ .

$f (4) = \frac{- 64 + 144 - 96 + 1}{3}$

Etapa 11.2.1.6

Some $- 64$ e $144$ .

$f (4) = \frac{80 - 96 + 1}{3}$

Etapa 11.2.1.7

Subtraia $96$ de $80$ .

$f (4) = \frac{- 16 + 1}{3}$

Etapa 11.2.1.8

Some $- 16$ e $1$ .

$f (4) = \frac{- 15}{3}$

Etapa 11.2.2

Divida $- 15$ por $3$ .

$f (4) = - 5$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$y = - 5$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cdot 2 + 6$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 4 + 6$

Etapa 13.2

Some $- 4$ e $6$ .

$2$

Etapa 14

$x = 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{3} + 9 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 1}{3}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 8 + 9 \cdot 2^{2} - 24 \cdot 2 + 1}{3}$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f (2) = \frac{- 8 + 9 \cdot 2^{2} - 24 \cdot 2 + 1}{3}$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \frac{- 8 + 9 \cdot 4 - 24 \cdot 2 + 1}{3}$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $9$ por $4$ .

$f (2) = \frac{- 8 + 36 - 24 \cdot 2 + 1}{3}$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $- 24$ por $2$ .

$f (2) = \frac{- 8 + 36 - 48 + 1}{3}$

Etapa 15.2.1.6

Some $- 8$ e $36$ .

$f (2) = \frac{28 - 48 + 1}{3}$

Etapa 15.2.1.7

Subtraia $48$ de $28$ .

$f (2) = \frac{- 20 + 1}{3}$

Etapa 15.2.1.8

Some $- 20$ e $1$ .

$f (2) = \frac{- 19}{3}$

Etapa 15.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (2) = - \frac{19}{3}$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- \frac{19}{3}$ .

$y = - \frac{19}{3}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 1}{3}$ .

$(4, - 5)$ é um máximo local

$(2, - \frac{19}{3})$ é um mínimo local

Etapa 17