Álgebra Exemplos

$x^{7} - 25 x^{5} = 0$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$0$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(0)}^{7} - 25 {(0)}^{5}$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 0$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 25 {(0)}^{5}$

Etapa 4.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 25 \cdot 0$

Etapa 4.1.3

Multiplique $- 25$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 5

Como $0$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 0$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{7} - 25 x^{5}}{x + 0}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

	$1$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 25)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 25)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$

Etapa 6.11

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$

Etapa 6.12

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$

Etapa 6.13

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$

Etapa 6.14

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 6.15

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(0)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 6.16

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$0$	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Etapa 6.17

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{6} + 0 x^{5} - 25 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x + 0$

Etapa 6.18

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{6} - 25 x^{4}$

Etapa 7

Fatore $x^{4}$ de $x^{6} - 25 x^{4}$ .

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Etapa 7.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{6}$ .

$(x + 0) (x^{4} x^{2} - 25 x^{4})$

Etapa 7.2

Fatore $x^{4}$ de $- 25 x^{4}$ .

$(x + 0) (x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 25)$

Etapa 7.3

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 25$ .

$(x + 0) (x^{4} (x^{2} - 25))$

Etapa 8

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(x + 0) (x^{4} (x^{2} - 5^{2}))$

Etapa 9

Fatore.

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Etapa 9.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$(x + 0) (x^{4} ((x + 5) (x - 5)))$

Etapa 9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 0) (x^{4} (x + 5) (x - 5))$

Etapa 10

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 10.1

Fatore $x^{5}$ de $x^{7} - 25 x^{5}$ .

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Etapa 10.1.1

Fatore $x^{5}$ de $x^{7}$ .

$x^{5} x^{2} - 25 x^{5} = 0$

Etapa 10.1.2

Fatore $x^{5}$ de $- 25 x^{5}$ .

$x^{5} x^{2} + x^{5} \cdot - 25 = 0$

Etapa 10.1.3

Fatore $x^{5}$ de $x^{5} x^{2} + x^{5} \cdot - 25$ .

$x^{5} (x^{2} - 25) = 0$

Etapa 10.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x^{5} (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Etapa 10.3

Fatore.

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Etapa 10.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$x^{5} ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Etapa 10.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{5} (x + 5) (x - 5) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{5} = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 12

Defina $x^{5}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x^{5}$ como igual a $0$ .

$x^{5} = 0$

Etapa 12.2

Resolva $x^{5} = 0$ para $x$ .

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Etapa 12.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Etapa 12.2.2

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

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Etapa 12.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 12.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 13

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 14

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 14.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 14.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 15

A solução final são todos os valores que tornam $x^{5} (x + 5) (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 5, 5$

Etapa 16