Álgebra Exemplos

$y = 64 {(x - 2)}^{3} - 1$

Etapa 1

Simplifique $64 {(x - 2)}^{3} - 1$ .

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Use o teorema binomial.

$y = 64 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1$

Etapa 1.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1$

Etapa 1.1.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}) - 1$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}) - 1$

Etapa 1.1.2.4

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1$

Etapa 1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 64 x^{3} + 64 (- 6 x^{2}) + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Multiplique $- 6$ por $64$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1$

Etapa 1.1.4.2

Multiplique $12$ por $64$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x + 64 \cdot - 8 - 1$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $64$ por $- 8$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 512 - 1$

Etapa 1.2

Subtraia $1$ de $- 512$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513$

Etapa 2

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 19, \pm 27, \pm 57, \pm 171, \pm 513$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

Etapa 3

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{16}, \pm \frac{1}{32}, \pm \frac{1}{64}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm \frac{3}{16}, \pm \frac{3}{32}, \pm \frac{3}{64}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{8}, \pm \frac{9}{16}, \pm \frac{9}{32}, \pm \frac{9}{64}, \pm 19, \pm \frac{19}{2}, \pm \frac{19}{4}, \pm \frac{19}{8}, \pm \frac{19}{16}, \pm \frac{19}{32}, \pm \frac{19}{64}, \pm 27, \pm \frac{27}{2}, \pm \frac{27}{4}, \pm \frac{27}{8}, \pm \frac{27}{16}, \pm \frac{27}{32}, \pm \frac{27}{64}, \pm 57, \pm \frac{57}{2}, \pm \frac{57}{4}, \pm \frac{57}{8}, \pm \frac{57}{16}, \pm \frac{57}{32}, \pm \frac{57}{64}, \pm 171, \pm \frac{171}{2}, \pm \frac{171}{4}, \pm \frac{171}{8}, \pm \frac{171}{16}, \pm \frac{171}{32}, \pm \frac{171}{64}, \pm 513, \pm \frac{513}{2}, \pm \frac{513}{4}, \pm \frac{513}{8}, \pm \frac{513}{16}, \pm \frac{513}{32}, \pm \frac{513}{64}$

Etapa 4

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$64 {(\frac{9}{4})}^{3} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = \frac{9}{4}$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{4}$ .

$64 \frac{9^{3}}{4^{3}} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5.1.2

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$64 \frac{729}{4^{3}} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5.1.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$64 (\frac{729}{64}) - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5.1.4

Cancele o fator comum de $64$ .

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Etapa 5.1.4.1

Cancele o fator comum.

$64 (\frac{729}{64}) - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5.1.4.2

Reescreva a expressão.

$729 - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{4}$ .

$729 - 384 \frac{9^{2}}{4^{2}} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5.1.6

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$729 - 384 \frac{81}{4^{2}} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5.1.7

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$729 - 384 (\frac{81}{16}) + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5.1.8

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 5.1.8.1

Fatore $16$ de $- 384$ .

$729 + 16 (- 24) \frac{81}{16} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5.1.8.2

Cancele o fator comum.

$729 + 16 \cdot - 24 \frac{81}{16} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5.1.8.3

Reescreva a expressão.

$729 - 24 \cdot 81 + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5.1.9

Multiplique $- 24$ por $81$ .

$729 - 1944 + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Etapa 5.1.10

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.1.10.1

Fatore $4$ de $768$ .

$729 - 1944 + 4 (192) \frac{9}{4} - 513$

Etapa 5.1.10.2

Cancele o fator comum.

$729 - 1944 + 4 \cdot 192 \frac{9}{4} - 513$

Etapa 5.1.10.3

Reescreva a expressão.

$729 - 1944 + 192 \cdot 9 - 513$

Etapa 5.1.11

Multiplique $192$ por $9$ .

$729 - 1944 + 1728 - 513$

Etapa 5.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1944$ de $729$ .

$- 1215 + 1728 - 513$

Etapa 5.2.2

Some $- 1215$ e $1728$ .

$513 - 513$

Etapa 5.2.3

Subtraia $513$ de $513$ .

$0$

Etapa 6

Como $\frac{9}{4}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - \frac{9}{4}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513}{x - \frac{9}{4}}$

Etapa 7

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 7.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$

Etapa 7.2

O primeiro número no dividendo $(64)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$

	$64$

Etapa 7.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(64)$ pelo divisor $(\frac{9}{4})$ e coloque o resultado de $(144)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 384)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$
	$64$

Etapa 7.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$
	$64$	$- 240$

Etapa 7.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 240)$ pelo divisor $(\frac{9}{4})$ e coloque o resultado de $(- 540)$ sob o próximo termo no dividendo $(768)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$
	$64$	$- 240$

Etapa 7.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$
	$64$	$- 240$	$228$

Etapa 7.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(228)$ pelo divisor $(\frac{9}{4})$ e coloque o resultado de $(513)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 513)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$	$513$
	$64$	$- 240$	$228$

Etapa 7.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$	$513$
	$64$	$- 240$	$228$	$0$

Etapa 7.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$64 x^{2} + - 240 x + 228$

Etapa 7.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$64 x^{2} - 240 x + 228$

Etapa 8

Fatore $4$ de $64 x^{2} - 240 x + 228$ .

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Etapa 8.1

Fatore $4$ de $64 x^{2}$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) - 240 x + 228)$

Etapa 8.2

Fatore $4$ de $- 240 x$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x) + 228)$

Etapa 8.3

Fatore $4$ de $228$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x) + 4 (57))$

Etapa 8.4

Fatore $4$ de $4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x)$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2} - 60 x) + 4 (57))$

Etapa 8.5

Fatore $4$ de $4 (16 x^{2} - 60 x) + 4 (57)$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2} - 60 x + 57))$

Etapa 9

Simplifique $64 {(x - 2)}^{3} - 1$ .

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Use o teorema binomial.

$64 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Etapa 9.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Etapa 9.1.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Etapa 9.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Etapa 9.1.2.4

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1 = 0$

Etapa 9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$64 x^{3} + 64 (- 6 x^{2}) + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Etapa 9.1.4

Simplifique.

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Etapa 9.1.4.1

Multiplique $- 6$ por $64$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Etapa 9.1.4.2

Multiplique $12$ por $64$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Etapa 9.1.4.3

Multiplique $64$ por $- 8$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 512 - 1 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $1$ de $- 512$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513 = 0$

Etapa 10

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = \frac{9}{4}$

Etapa 11