Álgebra Exemplos

$s (t) = 20 e^{\frac{1}{2} t^{3} + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}]$

Etapa 1.2

Como $20$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ em relação a $t$ é $20 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}]$ .

$20 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = \frac{t^{3}}{2} + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{t^{3}}{2} + 1$ .

$20 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2} + 1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$20 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2} + 1])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{t^{3}}{2} + 1$ .

$20 (e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2} + 1])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{t^{3}}{2} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{t^{3}}{2}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{1}{2} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.4

Combine frações.

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Etapa 3.4.1

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{3}{2} t^{2} + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.4.2

Combine $\frac{3}{2}$ e $t^{2}$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{3 t^{2}}{2} + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} (\frac{3 t^{2}}{2} + 0)$

Etapa 3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 3.6.1

Some $\frac{3 t^{2}}{2}$ e $0$ .

$20 e^{\frac{t^{3}}{2} + 1} \frac{3 t^{2}}{2}$

Etapa 3.6.2

Combine $\frac{3 t^{2}}{2}$ e $20$ .

$\frac{3 t^{2} \cdot 20}{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $20$ por $3$ .

$\frac{60 t^{2}}{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$

Etapa 3.6.4

Combine $\frac{60 t^{2}}{2}$ e $e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ .

$\frac{60 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}}{2}$

Etapa 3.6.5

Cancele o fator comum de $60$ e $2$ .

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Etapa 3.6.5.1

Fatore $2$ de $60 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ .

$\frac{2 (30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1})}{2}$

Etapa 3.6.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1})}{2 (1)}$

Etapa 3.6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1})}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}}{1}$

Etapa 3.6.5.2.4

Divida $30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$ por $1$ .

$30 t^{2} e^{\frac{t^{3}}{2} + 1}$