Álgebra Exemplos

$e^{- 0.002 t^{2}} (\sqrt{t} + t^{4})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}} (t^{\frac{1}{2}} + t^{4})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = e^{- 0.002 t^{2}}$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}} + t^{4}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} + t^{4}] + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{\frac{1}{2}} + t^{4}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Etapa 8.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Etapa 8.2.2

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Etapa 8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) \frac{d}{d t} [e^{- 0.002 t^{2}}]$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - 0.002 t^{2}$ .

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Etapa 9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 0.002 t^{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 0.002 t^{2}])$

Etapa 9.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) (e^{u} \frac{d}{d t} [- 0.002 t^{2}])$

Etapa 9.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 0.002 t^{2}$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) (e^{- 0.002 t^{2}} \frac{d}{d t} [- 0.002 t^{2}])$

Etapa 10

Diferencie.

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Etapa 10.1

Como $- 0.002$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 0.002 t^{2}$ em relação a $t$ é $- 0.002 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.002 \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.002 (2 t))$

Etapa 10.3

Multiplique $2$ por $- 0.002$ .

$e^{- 0.002 t^{2}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 0.002 t^{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} + t^{4}) e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 0.002 t^{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + (t^{\frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}}) (- 0.004 t)$

Etapa 11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 0.002 t^{2}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t) + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Etapa 11.4

Combine os termos.

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Etapa 11.4.1

Combine $e^{- 0.002 t^{2}}$ e $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t) + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Etapa 11.4.2

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{1} t^{\frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Etapa 11.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{1 + \frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Etapa 11.4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Etapa 11.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{2 + 1}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Etapa 11.4.6

Some $2$ e $1$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) + t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004 + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Etapa 11.4.7

Mova $- 0.004$ para a esquerda de $t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}}$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 \cdot (t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}}) + t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} (- 0.004 t)$

Etapa 11.4.8

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} + t^{1} t^{4} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004$

Etapa 11.4.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} + t^{1 + 4} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004$

Etapa 11.4.10

Some $1$ e $4$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} + t^{5} e^{- 0.002 t^{2}} \cdot - 0.004$

Etapa 11.4.11

Mova $- 0.004$ para a esquerda de $t^{5} e^{- 0.002 t^{2}}$ .

$\frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{- 0.002 t^{2}} (4 t^{3}) - 0.004 t^{\frac{3}{2}} e^{- 0.002 t^{2}} - 0.004 t^{5} e^{- 0.002 t^{2}}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$4 e^{- 0.002 t^{2}} t^{3} - 0.004 e^{- 0.002 t^{2}} t^{\frac{3}{2}} - 0.004 e^{- 0.002 t^{2}} t^{5} + \frac{e^{- 0.002 t^{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$