Álgebra Exemplos

$576 x^{2} - 16 y^{2} = 144$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

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Etapa 1.1

Divida cada termo por $144$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{576 x^{2}}{144} - \frac{16 y^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 4.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(3)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(3)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(3)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(3)}^{2}}$

Etapa 4.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + 9}$

Etapa 4.3.5

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 4.3.6

Combine $9$ e $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4}}$

Etapa 4.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{1 + 9 \cdot 4}{4}}$

Etapa 4.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.8.1

Multiplique $9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{1 + 36}{4}}$

Etapa 4.3.8.2

Some $1$ e $36$ .

$\sqrt{\frac{37}{4}}$

Etapa 4.3.9

Reescreva $\sqrt{\frac{37}{4}}$ como $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.3.10

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.10.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 4.3.10.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{37}}{2}$

Etapa 5

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 5.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{\sqrt{37}}{2}, 0)$

Etapa 5.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 5.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{\sqrt{37}}{2}, 0)$

Etapa 5.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(\frac{\sqrt{37}}{2}, 0), (- \frac{\sqrt{37}}{2}, 0)$

Etapa 6