Álgebra Exemplos

$f (x, y) = 3 x + 2 y$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $f (x, y) - 3 x - 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 1.2

Multiplique $f$ por cada elemento da matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$ e $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $d$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por cada elemento da matriz.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.3

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Fatore $x$ de $f x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Etapa 2.2.3.2.1

Combine $f$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.2.3.2.2

Combine $\frac{f}{x}$ e $y$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $f (x, y) - 3 x - 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 4.1.2

Multiplique $f$ por cada elemento da matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$ .

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) - 3 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} \cdot (f x, f y) - 3 = 0$

Etapa 5.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por cada elemento da matriz.

$(\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $x$ de $f x$ .

$(\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$(\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Etapa 5.2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$(f, \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{x} (f y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Combine $f$ e $\frac{1}{x}$ .

$(f, \frac{f}{x} y) - 3 = 0$

Etapa 5.2.3.2.2

Combine $\frac{f}{x}$ e $y$ .

$(f, \frac{f y}{x}) - 3 = 0$

Etapa 5.3

Some $3$ aos dois lados da equação.

$(f, \frac{f y}{x}) = 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{d}{d x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$d x = 0$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $d x = 0$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $d x = 0$ por $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $d$ por $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Divida $0$ por $x$ .

$d = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Multiplique $d$ por $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Etapa 9.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 11