Álgebra Exemplos

$x^{4} - 145 x^{2} + 144 \geq 0$

Etapa 1

Resolva $x \leq - 12 or - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 12$ .

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Etapa 1.1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} - 145 u + 144 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 1.2

Fatore $u^{2} - 145 u + 144$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $144$ e cuja soma é $- 145$ .

$- 144, - 1$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 144) (u - 1) = 0$

Etapa 1.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 144 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 1.4

Defina $u - 144$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 1.4.1

Defina $u - 144$ como igual a $0$ .

$u - 144 = 0$

Etapa 1.4.2

Some $144$ aos dois lados da equação.

$u = 144$

Etapa 1.5

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 1.5.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 1.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 1.6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 144) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 144, 1$

Etapa 1.7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 144$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 1.8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 144$

Etapa 1.9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{144}$

Etapa 1.9.2

Simplifique $\pm \sqrt{144}$ .

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Etapa 1.9.2.1

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{12^{2}}$

Etapa 1.9.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 12$

Etapa 1.9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 12$

Etapa 1.9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 12$

Etapa 1.9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 12, - 12$

Etapa 1.10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 1.11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 1$

Etapa 1.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.11.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 1.12

A solução para $x^{4} - 145 x^{2} + 144 = 0$ é $x = 12, - 12, 1, - 1$ .

$x = 12, - 12, 1, - 1$

Etapa 1.13

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 12$

$- 12 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 12$

$x > 12$

Etapa 1.14

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.14.1

Teste um valor no intervalo $x < - 12$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.14.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 12$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 14$

Etapa 1.14.1.2

Substitua $x$ por $- 14$ na desigualdade original.

${(- 14)}^{4} - 145 {(- 14)}^{2} + 144 \geq 0$

Etapa 1.14.1.3

O lado esquerdo $10140$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.14.2

Teste um valor no intervalo $- 12 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.14.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 12 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 1.14.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{4} - 145 {(- 4)}^{2} + 144 \geq 0$

Etapa 1.14.2.3

O lado esquerdo $- 1920$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.14.3

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.14.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.14.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{4} - 145 {(0)}^{2} + 144 \geq 0$

Etapa 1.14.3.3

O lado esquerdo $144$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.14.4

Teste um valor no intervalo $1 < x < 12$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.14.4.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 12$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.14.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{4} - 145 {(4)}^{2} + 144 \geq 0$

Etapa 1.14.4.3

O lado esquerdo $- 1920$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.14.5

Teste um valor no intervalo $x > 12$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.14.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 12$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 14$

Etapa 1.14.5.2

Substitua $x$ por $14$ na desigualdade original.

${(14)}^{4} - 145 {(14)}^{2} + 144 \geq 0$

Etapa 1.14.5.3

O lado esquerdo $10140$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.14.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 12$ Verdadeiro

$- 12 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 12$ Falso

$x > 12$ Verdadeiro

$x < - 12$ Verdadeiro

$- 12 < x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 12$ Falso

$x > 12$ Verdadeiro

Etapa 1.15

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 12$ ou $- 1 \leq x \leq 1$ ou $x \geq 12$

Etapa 2

Use a desigualdade $x \leq - 12 or - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 12$ para criar a notação do conjunto.

${x | x \leq - 12 or - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 12}$

Etapa 3