Álgebra Exemplos

$\frac{2}{x + 1} \geq \frac{1}{x - 2}$

Etapa 1

Resolva $- 1 < x < 2 or x \geq 5$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $\frac{1}{x - 2}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2

Simplifique $\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2}$ .

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Etapa 1.2.1

Para escrever $\frac{2}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.2

Para escrever $- \frac{1}{x - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \geq 0$

Etapa 1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 1) (x - 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $\frac{2}{x + 1}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \geq 0$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x + 1}{(x - 2) (x + 1)} \geq 0$

Etapa 1.2.3.3

Reordene os fatores de $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (x - 2) - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Etapa 1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x - 4 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Etapa 1.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - 4 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Etapa 1.2.5.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - 4 - x - 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Etapa 1.2.5.5

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\frac{x - 4 - 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Etapa 1.2.5.6

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Etapa 1.3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.4

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 1.5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.6

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 5$

$x = - 1$

$x = 2$

Etapa 1.8

Consolide as soluções.

$x = 5, - 1, 2$

Etapa 1.9

Encontre o domínio de $\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)}$ .

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Etapa 1.9.1

Defina o denominador em $\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x + 1) (x - 2) = 0$

Etapa 1.9.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.9.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.9.2.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.9.2.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.9.2.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.9.2.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.9.2.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.9.2.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.9.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 2$

Etapa 1.9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 1.10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

Etapa 1.11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 1.11.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{2}{(- 4) + 1} \geq \frac{1}{(- 4) - 2}$

Etapa 1.11.1.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{6}$ é menor do que o lado direito $- 0.1\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.11.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.11.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{2}{(0) + 1} \geq \frac{1}{(0) - 2}$

Etapa 1.11.2.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $- 0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.11.3

Teste um valor no intervalo $2 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.11.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.11.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{2}{(4) + 1} \geq \frac{1}{(4) - 2}$

Etapa 1.11.3.3

O lado esquerdo $0.4$ é menor do que o lado direito $0.5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.11.4

Teste um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 1.11.4.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{2}{(8) + 1} \geq \frac{1}{(8) - 2}$

Etapa 1.11.4.3

O lado esquerdo $0.\overline{2}$ é maior do que o lado direito $0.1\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadeiro

Etapa 1.12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 < x < 2$ ou $x \geq 5$

Etapa 2

Use a desigualdade $- 1 < x < 2 or x \geq 5$ para criar a notação do conjunto.

${x | - 1 < x < 2 or x \geq 5}$

Etapa 3