Álgebra Exemplos

$y = \tan^{-1} (\sqrt{x})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \tan^{-1} (y)$ e $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\tan^{-1} (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.3

Simplifique.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 4.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

Etapa 4.12

Multiplique $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 4.13

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} x'$

Etapa 4.14

Combine $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$ e $x'$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Etapa 6

Resolva $x'$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Simplifique $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Etapa 6.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Etapa 6.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Etapa 6.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

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Etapa 6.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Etapa 6.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique $1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ por $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$

Etapa 6.3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 6.3.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 6.3.2.1.4

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.2.1.4.1

Mova $x$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.3.2.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.3.2.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{1 + \frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2.1.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2.1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Etapa 6.3.2.1.4.5

Some $2$ e $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$