Álgebra Exemplos

$y = {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ e $g (y) = 10 x^{3} + 7$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Etapa 3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Etapa 3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Etapa 3.6

Diferencie.

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Etapa 3.6.1

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Etapa 3.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x^{3} + 7$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

Etapa 3.6.3

Como $10$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $10 x^{3}$ em relação a $y$ é $10 \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Etapa 3.8

Multiplique $3$ por $10$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 (x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Etapa 3.9

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [7])$

Etapa 3.10

Como $7$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $7$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + 0)$

Etapa 3.11

Simplifique os termos.

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Etapa 3.11.1

Some $30 x^{2} x'$ e $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x')$

Etapa 3.11.2

Combine $30$ e $\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{30 (3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} (x^{2} x')$

Etapa 3.11.3

Multiplique $3$ por $30$ .

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (x^{2} x')$

Etapa 3.11.4

Combine $x^{2}$ e $\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x'$

Etapa 3.11.5

Combine $\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2}$ e $x'$ .

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2}$

Etapa 3.11.6

Fatore $2$ de $x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ .

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2}$

Etapa 3.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.12.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 (1)}$

Etapa 3.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{1}$

Etapa 3.12.4

Divida $x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ por $1$ .

$x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$

Etapa 3.13

Reordene os fatores de $x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ .

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ .

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ por $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ por $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.2.5

Cancele o fator comum.

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2.2.6

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$