Álgebra Exemplos

$f (x) = 6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{6}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm \frac{35}{3}, \pm \frac{35}{6}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$6 {(\frac{7}{2})}^{4} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = \frac{7}{2}$ é a raiz do polinômio.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$6 \frac{7^{4}}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.2

Eleve $7$ à potência de $4$ .

$6 \frac{2401}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$6 (\frac{2401}{16}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{2401}{16} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.4.2

Fatore $2$ de $16$ .

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.4.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.4.4

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{2401}{8}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.5

Combine $3$ e $\frac{2401}{8}$ .

$\frac{3 \cdot 2401}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.6

Multiplique $3$ por $2401$ .

$\frac{7203}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.7

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{7^{3}}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.8

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{343}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.9

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 (\frac{343}{8}) - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.10

Multiplique $- 21 (\frac{343}{8})$ .

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Etapa 4.1.10.1

Combine $- 21$ e $\frac{343}{8}$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 21 \cdot 343}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.10.2

Multiplique $- 21$ por $343$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.12

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.13

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{49}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.14

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 (\frac{49}{4}) + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.15

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.15.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 (- 1) \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.15.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 \cdot - 1 \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.15.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 1 \cdot 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.16

Multiplique $- 1$ por $49$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Etapa 4.1.17

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.17.1

Fatore $2$ de $24$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 (12) \frac{7}{2} - 35$

Etapa 4.1.17.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 \cdot 12 \frac{7}{2} - 35$

Etapa 4.1.17.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 12 \cdot 7 - 35$

Etapa 4.1.18

Multiplique $12$ por $7$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 84 - 35$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 49 + 84 - 35 + \frac{7203 - 7203}{8}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $7203$ de $7203$ .

$- 49 + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Etapa 4.3

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.3.1

Escreva $- 49$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 49}{1} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{- 49}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49}{1} \cdot \frac{8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $\frac{- 49}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Etapa 4.3.4

Escreva $84$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} - 35 + \frac{0}{8}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\frac{84}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} \cdot \frac{8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $\frac{84}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

Etapa 4.3.7

Escreva $- 35$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} + \frac{0}{8}$

Etapa 4.3.8

Multiplique $\frac{- 35}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{0}{8}$

Etapa 4.3.9

Multiplique $\frac{- 35}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35 \cdot 8}{8} + \frac{0}{8}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 49 \cdot 8 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

Etapa 4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 49$ por $8$ .

$\frac{- 392 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $84$ por $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 35 \cdot 8}{8}$

Etapa 4.5.3

Multiplique $- 35$ por $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 280}{8}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $- 392$ e $672$ .

$\frac{280 - 280}{8}$

Etapa 4.6.2

Subtraia $280$ de $280$ .

$\frac{0}{8}$

Etapa 4.6.3

Divida $0$ por $8$ .

$0$

Etapa 5

Como $\frac{7}{2}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - \frac{7}{2}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35}{x - \frac{7}{2}}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(6)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

	$6$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(6)$ pelo divisor $(\frac{7}{2})$ e coloque o resultado de $(21)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 21)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(\frac{7}{2})$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$	$- 4$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4)$ pelo divisor $(\frac{7}{2})$ e coloque o resultado de $(- 14)$ sob o próximo termo no dividendo $(24)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

Etapa 6.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(10)$ pelo divisor $(\frac{7}{2})$ e coloque o resultado de $(35)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 35)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

Etapa 6.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$	$0$

Etapa 6.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$6 x^{3} + 0 x^{2} + (- 4) x + 10$

Etapa 6.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$6 x^{3} - 4 x + 10$

Etapa 7

Fatore $2$ de $6 x^{3} - 4 x + 10$ .

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Etapa 7.1

Fatore $2$ de $6 x^{3}$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) - 4 x + 10)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 10)$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $10$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (5))$

Etapa 7.4

Fatore $2$ de $2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x)$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5))$

Etapa 7.5

Fatore $2$ de $2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5)$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x + 5))$

Etapa 8

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 1.37173942, \frac{7}{2}$

Etapa 9