Álgebra Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} + 7 x^{2} + 98 x + 343$

Etapa 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 7, \pm 49, \pm 343$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 49, \pm \frac{49}{2}, \pm 343, \pm \frac{343}{2}$

Etapa 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

$2 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = - \frac{7}{2}$ é a raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{7}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$2 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.3

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$2 (- \frac{343}{2^{3}}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$2 (- \frac{343}{8}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{343}{8}$ para o numerador.

$2 (\frac{- 343}{8}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.5.2

Fatore $2$ de $8$ .

$2 \frac{- 343}{2 (4)} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.5.3

Cancele o fator comum.

$2 \frac{- 343}{2 \cdot 4} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 343}{4} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{343}{4} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{343}{4} + 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{343}{4} + 7 ({(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{2^{2}}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{343}{4} + 7 (1 \frac{7^{2}}{2^{2}}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.9

Multiplique $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{343}{4} + 7 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.10

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$- \frac{343}{4} + 7 \frac{49}{2^{2}} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{343}{4} + 7 (\frac{49}{4}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.12

Multiplique $7 (\frac{49}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.12.1

Combine $7$ e $\frac{49}{4}$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{7 \cdot 49}{4} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.12.2

Multiplique $7$ por $49$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.13

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.13.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7}{2}$ para o numerador.

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 98 (\frac{- 7}{2}) + 343$

Etapa 4.1.13.2

Fatore $2$ de $98$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 2 (49) \frac{- 7}{2} + 343$

Etapa 4.1.13.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 2 \cdot 49 \frac{- 7}{2} + 343$

Etapa 4.1.13.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 49 \cdot - 7 + 343$

Etapa 4.1.14

Multiplique $49$ por $- 7$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} - 343 + 343$

Etapa 4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 343 + 343 + \frac{- 343 + 343}{4}$

Etapa 4.2.2

Some $- 343$ e $343$ .

$- 343 + 343 + \frac{0}{4}$

Etapa 4.3

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Escreva $- 343$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 343}{1} + 343 + \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{- 343}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343}{1} \cdot \frac{4}{4} + 343 + \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $\frac{- 343}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + 343 + \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.4

Escreva $343$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + \frac{343}{1} + \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\frac{343}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + \frac{343}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $\frac{343}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + \frac{343 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 343 \cdot 4 + 343 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Multiplique $- 343$ por $4$ .

$\frac{- 1372 + 343 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $343$ por $4$ .

$\frac{- 1372 + 1372}{4}$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Some $- 1372$ e $1372$ .

$\frac{0}{4}$

Etapa 4.6.2

Divida $0$ por $4$ .

$0$

Etapa 5

Como $- \frac{7}{2}$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + \frac{7}{2}$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} + 7 x^{2} + 98 x + 343}{x + \frac{7}{2}}$

Etapa 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- \frac{7}{2})$ e coloque o resultado de $(- 7)$ sob o próximo termo no dividendo $(7)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$
	$2$	$0$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(- \frac{7}{2})$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(98)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$
	$2$	$0$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$
	$2$	$0$	$98$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(98)$ pelo divisor $(- \frac{7}{2})$ e coloque o resultado de $(- 343)$ sob o próximo termo no dividendo $(343)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$	$- 343$
	$2$	$0$	$98$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$	$- 343$
	$2$	$0$	$98$	$0$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + 0 x + 98$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{2} + 98$

Etapa 7

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 98$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$(x + \frac{7}{2}) (2 (x^{2}) + 98)$

Etapa 7.2

Fatore $2$ de $98$ .

$(x + \frac{7}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot 49)$

Etapa 7.3

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot 49$ .

$(x + \frac{7}{2}) (2 (x^{2} + 49))$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{3} + 7 x^{2}) + 98 x + 343 = 0$

Etapa 8.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (2 x + 7) + 49 (2 x + 7) = 0$

Etapa 8.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 7$ .

$(2 x + 7) (x^{2} + 49) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 49 = 0$

Etapa 10

Defina $2 x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Defina $2 x + 7$ como igual a $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $2 x + 7 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 7$

Etapa 10.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 7$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 7$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Etapa 10.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{7}{2}$

Etapa 11

Defina $x^{2} + 49$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Defina $x^{2} + 49$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x^{2} + 49 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Subtraia $49$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 49$

Etapa 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Etapa 11.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 49}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 49$ como $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Etapa 11.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (49)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Etapa 11.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Etapa 11.2.3.4

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Etapa 11.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 7$

Etapa 11.2.3.6

Mova $7$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 7 i$

Etapa 11.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 7 i$

Etapa 11.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 7 i$

Etapa 11.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 7 i, - 7 i$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 7) (x^{2} + 49) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{7}{2}, 7 i, - 7 i$

Etapa 13