Álgebra Exemplos

${(x^{- 1} + 2 y^{- 1})}^{4}$

Etapa 1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{1}{x} + 2 y^{- 1})}^{4}$

Etapa 2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{1}{x} + 2 (\frac{1}{y}))}^{4}$

Etapa 3

Combine $2$ e $\frac{1}{y}$ .

${(\frac{1}{x} + \frac{2}{y})}^{4}$

Etapa 4

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(\frac{1}{x} + \frac{2}{y})}^{4}$ , $n = 4$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $5$ .

Etapa 5

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

${(1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4})}^{4}$

Etapa 6

Substitua os valores reais de $a$ $\frac{1}{x}$ e $b$ $\frac{2}{y}$ na expressão.

$1 {(\frac{1}{x})}^{4} {(\frac{2}{y})}^{0} + 4 {(\frac{1}{x})}^{3} {(\frac{2}{y})}^{1} + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 {(\frac{1}{x})}^{1} {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4}$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1

Multiplique ${(\frac{1}{x})}^{4}$ por $1$ .

${({(\frac{1}{x})}^{4} {(\frac{2}{y})}^{0} + 4 {(\frac{1}{x})}^{3} (\frac{2}{y}) + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

${(\frac{1^{4}}{x^{4}} \cdot {(\frac{2}{y})}^{0} + 4 {(\frac{1}{x})}^{3} (\frac{2}{y}) + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.3

Um elevado a qualquer potência é um.

${(\frac{1}{x^{4}} \cdot {(\frac{2}{y})}^{0} + 4 {(\frac{1}{x})}^{3} (\frac{2}{y}) + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.4

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{y}$ .

${(\frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{2^{0}}{y^{0}} + 4 {(\frac{1}{x})}^{3} (\frac{2}{y}) + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.5

Combine.

${(\frac{1 \cdot 2^{0}}{x^{4} y^{0}} + 4 {(\frac{1}{x})}^{3} (\frac{2}{y}) + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.6

Multiplique $2^{0}$ por $1$ .

${(\frac{2^{0}}{x^{4} y^{0}} + 4 {(\frac{1}{x})}^{3} (\frac{2}{y}) + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.7

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

${(\frac{2^{0}}{x^{4} \cdot 1} + 4 {(\frac{1}{x})}^{3} (\frac{2}{y}) + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

${(\frac{1}{x^{4} \cdot 1} + 4 {(\frac{1}{x})}^{3} (\frac{2}{y}) + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.9

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + 4 {(\frac{1}{x})}^{3} (\frac{2}{y}) + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.10

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + 4 (\frac{1^{3}}{x^{3}}) \cdot (\frac{2}{y}) + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.11

Um elevado a qualquer potência é um.

${(\frac{1}{x^{4}} + 4 (\frac{1}{x^{3}}) \cdot (\frac{2}{y}) + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.12

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{3}} \cdot (\frac{2}{y}) + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.13

Simplifique.

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{2}{y} + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.14

Combine.

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 \cdot 2}{x^{3} y} + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.15

Multiplique $4$ por $2$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + 6 {(\frac{1}{x})}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.16

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + 6 (\frac{1^{2}}{x^{2}}) \cdot {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.17

Um elevado a qualquer potência é um.

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + 6 (\frac{1}{x^{2}}) \cdot {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.18

Combine $6$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{6}{x^{2}} \cdot {(\frac{2}{y})}^{2} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.19

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{y}$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{6}{x^{2}} \cdot \frac{2^{2}}{y^{2}} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.20

Combine.

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{6 \cdot 2^{2}}{x^{2} y^{2}} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.21

Eleve $2$ à potência de $2$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{6 \cdot 4}{x^{2} y^{2}} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.22

Multiplique $6$ por $4$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + 4 (\frac{1}{x}) {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.23

Simplifique.

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + 4 (\frac{1}{x}) \cdot {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.24

Combine $4$ e $\frac{1}{x}$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{4}{x} \cdot {(\frac{2}{y})}^{3} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.25

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{y}$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{4}{x} \cdot \frac{2^{3}}{y^{3}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.26

Combine.

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{4 \cdot 2^{3}}{x y^{3}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.27

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.27.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{x y^{3}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.27.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{2^{2 + 3}}{x y^{3}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.27.3

Some $2$ e $3$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{2^{5}}{x y^{3}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.28

Eleve $2$ à potência de $5$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{32}{x y^{3}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.29

Multiplique ${(\frac{1}{x})}^{0}$ por $1$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{32}{x y^{3}} + {(\frac{1}{x})}^{0} {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.30

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{32}{x y^{3}} + \frac{1^{0}}{x^{0}} \cdot {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.31

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{32}{x y^{3}} + \frac{1}{x^{0}} \cdot {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.32

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{32}{x y^{3}} + \frac{1}{1} \cdot {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.33

Divida $1$ por $1$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{32}{x y^{3}} + 1 {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.34

Multiplique ${(\frac{2}{y})}^{4}$ por $1$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{32}{x y^{3}} + {(\frac{2}{y})}^{4})}^{4}$

Etapa 7.35

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{y}$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{32}{x y^{3}} + \frac{2^{4}}{y^{4}})}^{4}$

Etapa 7.36

Eleve $2$ à potência de $4$ .

${(\frac{1}{x^{4}} + \frac{8}{x^{3} y} + \frac{24}{x^{2} y^{2}} + \frac{32}{x y^{3}} + \frac{16}{y^{4}})}^{4}$