Álgebra Exemplos

${(m + \frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(m + \frac{1}{m})}^{6}$ , $n = 6$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $7$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $m$ e $b$ $\frac{1}{m}$ na expressão.

$1 {(m)}^{6} {(\frac{1}{m})}^{0} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique ${(m)}^{6}$ por $1$ .

${(m)}^{6} {(\frac{1}{m})}^{0} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} \frac{1^{0}}{m^{0}} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$m^{6} \frac{1}{m^{0}} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$m^{6} \frac{1}{1} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.5

Divida $1$ por $1$ .

$m^{6} \cdot 1 + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.6

Multiplique $m^{6}$ por $1$ .

$m^{6} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.7

Simplifique.

$m^{6} + 6 m^{5} \frac{1}{m} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.8

Cancele o fator comum de $m$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Fatore $m$ de $6 m^{5}$ .

$m^{6} + m (6 m^{4}) \frac{1}{m} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.8.2

Cancele o fator comum.

Etapa 4.8.3

Reescreva a expressão.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.9

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{4} \frac{1^{2}}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{4} \frac{1}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.11

Cancele o fator comum de $m^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.1

Fatore $m^{2}$ de $15 m^{4}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + m^{2} (15 m^{2}) \frac{1}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.11.2

Cancele o fator comum.

$m^{6} + 6 m^{4} + m^{2} (15 m^{2}) \frac{1}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.11.3

Reescreva a expressão.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.12

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 m^{3} \frac{1^{3}}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.13

Um elevado a qualquer potência é um.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 m^{3} \frac{1}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.14

Cancele o fator comum de $m^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.14.1

Fatore $m^{3}$ de $20 m^{3}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + m^{3} \cdot 20 \frac{1}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.14.2

Cancele o fator comum.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + m^{3} \cdot 20 \frac{1}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.14.3

Reescreva a expressão.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.15

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 m^{2} \frac{1^{4}}{m^{4}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 m^{2} \frac{1}{m^{4}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.17

Cancele o fator comum de $m^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.1

Fatore $m^{2}$ de $15 m^{2}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + m^{2} \cdot 15 \frac{1}{m^{4}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.17.2

Fatore $m^{2}$ de $m^{4}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + m^{2} \cdot 15 \frac{1}{m^{2} m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.17.3

Cancele o fator comum.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + m^{2} \cdot 15 \frac{1}{m^{2} m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.17.4

Reescreva a expressão.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 \frac{1}{m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.18

Combine $15$ e $\frac{1}{m^{2}}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.19

Simplifique.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 m {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.20

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 m \frac{1^{5}}{m^{5}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.21

Um elevado a qualquer potência é um.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 m \frac{1}{m^{5}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.22

Cancele o fator comum de $m$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.22.1

Fatore $m$ de $6 m$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + m \cdot 6 \frac{1}{m^{5}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.22.2

Fatore $m$ de $m^{5}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + m \cdot 6 \frac{1}{m \cdot m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.22.3

Cancele o fator comum.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + m \cdot 6 \frac{1}{m \cdot m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.22.4

Reescreva a expressão.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 \frac{1}{m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.23

Combine $6$ e $\frac{1}{m^{4}}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.24

Multiplique ${(m)}^{0}$ por $1$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.25

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + 1 {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.26

Multiplique ${(\frac{1}{m})}^{6}$ por $1$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + {(\frac{1}{m})}^{6}$

Etapa 4.27

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + \frac{1^{6}}{m^{6}}$

Etapa 4.28

Um elevado a qualquer potência é um.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + \frac{1}{m^{6}}$