Álgebra Exemplos

$3 x^{4} - x^{2} + 1$

Etapa 1

Defina $3 x^{4} - x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$3 x^{4} - x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$3 u^{2} - u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.3

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.1.3

Subtraia $12$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.1.4

Reescreva $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.5.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.5.1.3

Subtraia $12$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.5.1.4

Reescreva $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Etapa 2.5.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$u = \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.3

Subtraia $12$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.4

Reescreva $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Etapa 2.6.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$u = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Etapa 2.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$ (Multiplicidade de $1$ )

$u = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$ (Multiplicidade de $1$ )

Etapa 2.8

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Etapa 2.9

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Etapa 2.10

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{11}}{6}}$

Etapa 2.10.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{11}}{6}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{11}}{6}}$ como $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 2.10.2.2

Multiplique $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Etapa 2.10.2.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Etapa 2.10.2.3.2

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Etapa 2.10.2.3.3

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Etapa 2.10.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.10.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 2.10.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.10.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.10.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.10.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.10.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Etapa 2.10.2.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6}$

Etapa 2.10.2.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Etapa 2.10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Etapa 2.10.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Etapa 2.10.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Etapa 2.10.4

A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que a raiz aparece. Por exemplo, um fator de ${(x + 5)}^{3}$ tem uma raiz em $x = - 5$ , com multiplicidade de $3$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Multiplicidade de $1$ )

Etapa 2.11

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Etapa 2.12

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Etapa 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{11}}{6}}$

Etapa 2.12.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{11}}{6}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.3.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{11}}{6}}$ como $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$

Etapa 2.12.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Etapa 2.12.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.3.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Etapa 2.12.3.3.2

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Etapa 2.12.3.3.3

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Etapa 2.12.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.12.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 2.12.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.12.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.12.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.12.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.12.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Etapa 2.12.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6}$

Etapa 2.12.3.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Etapa 2.12.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Etapa 2.12.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Etapa 2.12.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Etapa 2.12.5

A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que a raiz aparece. Por exemplo, um fator de ${(x + 5)}^{3}$ tem uma raiz em $x = - 5$ , com multiplicidade de $3$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Multiplicidade de $1$ )

Etapa 2.13

A solução para $3 x^{4} - x^{2} + 1 = 0$ é $x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Etapa 3