Álgebra Exemplos

$\frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $- \frac{1}{16}$

Etapa 1

Esta é uma progressão geométrica, pois existe uma razão comum entre cada termo. Nesse caso, multiplicar o termo anterior na progressão por $- \frac{1}{2}$ resulta no próximo termo. Em outras palavras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressão geométrica: $r = - \frac{1}{2}$

Etapa 2

Esta é a forma de uma progressão geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Etapa 3

Substitua os valores de $a_{1} = \frac{1}{2}$ e $r = - \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

Etapa 4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1})$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Etapa 5

Um elevado a qualquer potência é um.

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2^{n - 1}})$

Etapa 6

Combine ${(- 1)}^{n - 1}$ e $\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Etapa 7

Combine.

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2 \cdot 2^{n - 1}}$

Etapa 8

Multiplique $2$ por $2^{n - 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.1

Multiplique $2$ por $2^{n - 1}$ .

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Etapa 8.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}$

Etapa 8.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1 + n - 1}}$

Etapa 8.2

Combine os termos opostos em $1 + n - 1$ .

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Etapa 8.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n + 0}}$

Etapa 8.2.2

Some $n$ e $0$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

Etapa 9

Multiplique ${(- 1)}^{n - 1}$ por $1$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

Etapa 10

Esta é a fórmula para encontrar a soma dos $n$ primeiros termos da progressão geométrica. Para avaliá-la, encontre os valores de $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Etapa 11

Substitua as variáveis pelos valores conhecidos para encontrar $S_{4}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- \frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 12

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 12.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 12.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 12.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 12.3

Multiplique $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 12.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 12.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 12.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 12.7

Combine $- 1$ e $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 12.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 12.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.9.1

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 12.9.2

Subtraia $16$ de $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 12.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Etapa 13

Simplifique o denominador.

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Etapa 13.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 13.2

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 13.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 13.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1 - 2}{2}}$

Etapa 13.4.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 3}{2}}$

Etapa 13.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{3}{2}}$

Etapa 14

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{3}{2}}$

Etapa 15

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{15}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Etapa 16

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 16.1

Fatore $3$ de $15$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3 (5)}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Etapa 16.2

Cancele o fator comum.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3 \cdot 5}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Etapa 16.3

Reescreva a expressão.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{16} \cdot 2)$

Etapa 17

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 17.1

Fatore $2$ de $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2 (8)} \cdot 2)$

Etapa 17.2

Cancele o fator comum.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Etapa 17.3

Reescreva a expressão.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$

Etapa 18

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$ .

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Etapa 18.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{5}{8}$ .

$S_{4} = \frac{5}{2 \cdot 8}$

Etapa 18.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$S_{4} = \frac{5}{16}$