Álgebra Exemplos

$\ln (\sqrt{\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}}$ como ${(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d c} [\ln ({(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ é $f' (g (c)) g' (c)$ , em que $f (c) = \ln (c)$ e $g (c) = {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d c} [{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d c} [{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d c} [{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ é $f' (g (c)) g' (c)$ , em que $f (c) = c^{\frac{1}{2}}$ e $g (c) = \frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ é $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ , em que $f (c) = c^{2} - z^{2}$ e $g (c) = c^{2} + z^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} - z^{2}] - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Etapa 10

Diferencie.

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Etapa 10.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $c^{2} - z^{2}$ com relação a $c$ é $\frac{d}{d c} [c^{2}] + \frac{d}{d c} [- z^{2}]$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) (\frac{d}{d c} [c^{2}] + \frac{d}{d c} [- z^{2}]) - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Etapa 10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ é $n c^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) (2 c + \frac{d}{d c} [- z^{2}]) - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Etapa 10.3

Como $- z^{2}$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $- z^{2}$ em relação a $c$ é $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) (2 c + 0) - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Etapa 10.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.4.1

Some $2 c$ e $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) (2 c) - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Etapa 10.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $c^{2} + z^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (c^{2} + z^{2}) c - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Etapa 10.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $c^{2} + z^{2}$ com relação a $c$ é $\frac{d}{d c} [c^{2}] + \frac{d}{d c} [z^{2}]$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - (c^{2} - z^{2}) (\frac{d}{d c} [c^{2}] + \frac{d}{d c} [z^{2}])}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Etapa 10.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ é $n c^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - (c^{2} - z^{2}) (2 c + \frac{d}{d c} [z^{2}])}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Etapa 10.7

Como $z^{2}$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $z^{2}$ em relação a $c$ é $0$ .

Etapa 10.8

Combine frações.

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Etapa 10.8.1

Some $2 c$ e $0$ .

Etapa 10.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Etapa 10.8.3

Multiplique $\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2} \cdot 2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 10.8.4

Mova $2$ para a esquerda de ${(c^{2} + z^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 \cdot {(c^{2} + z^{2})}^{2}} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} {(\frac{c^{2} + z^{2}}{c^{2} - z^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 11.2

Aplique a regra do produto a $\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} {(\frac{c^{2} + z^{2}}{c^{2} - z^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 11.3

Aplique a regra do produto a $\frac{c^{2} + z^{2}}{c^{2} - z^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{(2 c^{2} + 2 z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c + (- 2 c^{2} - 2 (- z^{2})) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8

Combine os termos.

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Etapa 11.8.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.2

Multiplique $\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.3

Eleve $c$ à potência de $1$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (c^{1} c^{2}) + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{1 + 2} + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.6

Eleve $c$ à potência de $1$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 (c^{1} c^{2}) - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 c^{1 + 2} - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.8

Some $1$ e $2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 c^{3} - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.9

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 c^{3} + 2 z^{2} c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.10

Subtraia $2 c^{3}$ de $2 c^{3}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 z^{2} c + 0 + 2 z^{2} c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.11

Some $2 z^{2} c$ e $0$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 z^{2} c + 2 z^{2} c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.12

Some $2 z^{2} c$ e $2 z^{2} c$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 z^{2} c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.13

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 11.8.13.1

Fatore $2$ de $4 z^{2} c$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (2 z^{2} c)}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.8.13.2.1

Fatore $2$ de $2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (2 z^{2} c)}{2 ({(c^{2} + z^{2})}^{2})} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (2 z^{2} c)}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 11.8.14

Multiplique $\frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}}$ por $\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{2} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.8.15

Mova ${(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 11.8.16

Multiplique ${(c^{2} + z^{2})}^{2}$ por ${(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.8.16.1

Mova ${(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{2} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.8.16.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + 2} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.8.16.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.8.16.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.8.16.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.8.16.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.8.16.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.8.16.6.2

Some $- 1$ e $4$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.8.17

Multiplique $\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 11.8.18

Multiplique ${(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.8.18.1

Mova ${(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.8.18.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.8.18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.8.18.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{2}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.8.18.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{1} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.8.19

Simplifique ${(c^{2} - z^{2})}^{1} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.8.20

Mova $2$ para a esquerda de ${(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 11.8.21

Mova ${(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 11.8.22

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.8.22.1

Multiplique ${(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}$ por ${(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.8.22.1.1

Mova ${(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) ({(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 11.8.22.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Etapa 11.8.22.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Etapa 11.8.22.1.4

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.8.22.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{1}}$

Etapa 11.8.22.2

Simplifique $(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{1}$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) (c^{2} + z^{2})}$

Etapa 11.9

Reordene os termos.

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} + z^{2}) (c^{2} - z^{2})}$

Etapa 11.10

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = c$ e $b = z$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} + z^{2}) (c + z) (c - z)}$