Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{64}{\sqrt[3]{5 x^{2} + 7 x + 8}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{5 x^{2} + 7 x + 8}$ como ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{64}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{64}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$64 \frac{d}{d x} [{({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 1.3.2

Multiplique os expoentes em ${({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 1.3.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Etapa 1.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = 5 x^{2} + 7 x + 8$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x^{2} + 7 x + 8$ .

$64 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{2} + 7 x + 8$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Etapa 7.2

Combine ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$64 (- \frac{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Etapa 7.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.3.1

Mova ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$64 (- \frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Etapa 7.3.2

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$- 64 (\frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Etapa 7.4

Combine $\frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ e $- 64$ .

$\frac{- 64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8]$

Etapa 7.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 7 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 9

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $5$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 12

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 14

Multiplique $7$ por $1$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 15

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 + 0)$

Etapa 16

Some $10 x + 7$ e $0$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7)$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Reordene os fatores de $- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7)$ .

$- (10 x + 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (10 x) - 1 \cdot 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.3

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$(- 10 x - 1 \cdot 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.4

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$(- 10 x - 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.5

Multiplique $- 10 x - 7$ por $\frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{(- 10 x - 7) \cdot 64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.6

Mova $64$ para a esquerda de $- 10 x - 7$ .

$\frac{64 \cdot (- 10 x - 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.7

Fatore $- 1$ de $- 10 x$ .

$\frac{64 (- (10 x) - 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.8

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$\frac{64 (- (10 x) - 1 (7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.9

Fatore $- 1$ de $- (10 x) - 1 (7)$ .

$\frac{64 (- (10 x + 7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.10

Reescreva $- (10 x + 7)$ como $- 1 (10 x + 7)$ .

$\frac{64 (- 1 (10 x + 7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 17.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{64 (10 x + 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$