Álgebra Exemplos

$f (t) = 5 \sin (\frac{1}{3} t^{3} + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [5 \sin (\frac{t^{3}}{3} + 1)]$

Etapa 1.2

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 \sin (\frac{t^{3}}{3} + 1)$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t^{3}}{3} + 1)]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t^{3}}{3} + 1)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = \frac{t^{3}}{3} + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{t^{3}}{3} + 1$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{3} + 1])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$5 (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{3} + 1])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{t^{3}}{3} + 1$ .

$5 (\cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{3} + 1])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{t^{3}}{3} + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{3}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (\frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{3}] + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{t^{3}}{3}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (\frac{1}{3} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (\frac{3}{3} t^{2} + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.4.2

Combine $\frac{3}{3}$ e $t^{2}$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.4.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.3.1

Cancele o fator comum.

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (\frac{3 t^{2}}{3} + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.4.3.2

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (t^{2} + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) (t^{2} + 0)$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $t^{2}$ e $0$ .

$5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) t^{2}$

Etapa 3.6.2

Reordene os fatores de $5 \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1) t^{2}$ .

$5 t^{2} \cos (\frac{t^{3}}{3} + 1)$