Álgebra Exemplos

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x + 6) = 2$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x + 6) - 2 = 0$

Etapa 2

Simplifique $\log_{4} (x) + \log_{4} (x + 6) - 2$ .

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Etapa 2.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (x (x + 6)) - 2 = 0$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 6) - 2 = 0$

Etapa 2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot 6) - 2 = 0$

Etapa 2.2.3

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + 6 x) - 2 = 0$

Etapa 3

Defina o argumento em $\log_{4} (x^{2} + 6 x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 6 x \leq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + 6 x = 0$

Etapa 4.2

Fatore $x$ de $x^{2} + 6 x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 6 x = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore $x$ de $6 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 6 = 0$

Etapa 4.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$x (x + 6) = 0$

Etapa 4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 4.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.5

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 4.5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 4.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 6$

Etapa 4.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 4.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 4.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 4.8.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

${(- 8)}^{2} + 6 (- 8) \leq 0$

Etapa 4.8.1.3

O lado esquerdo $16$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.8.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 4.8.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

${(- 3)}^{2} + 6 (- 3) \leq 0$

Etapa 4.8.2.3

O lado esquerdo $- 9$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 4.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 4.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 4.8.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

${(2)}^{2} + 6 (2) \leq 0$

Etapa 4.8.3.3

O lado esquerdo $16$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 4.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Verdadeiro

$x > 0$ Falso

Etapa 4.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 6 \leq x \leq 0$

Etapa 5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$- 6 \leq x \leq 0$

$[- 6, 0]$

Etapa 6