Álgebra Exemplos

$\frac{5}{2 x - 1} < x - 2$

Etapa 1

Resolva $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{5}{2 x - 1} - x < - 2$

Etapa 1.1.2

Some $2$ aos dois lados da desigualdade.

$\frac{5}{2 x - 1} - x + 2 < 0$

Etapa 1.2

Simplifique $\frac{5}{2 x - 1} - x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para escrever $- x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} - x \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Etapa 1.2.2

Combine $- x$ e $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} + \frac{- x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 - x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Etapa 1.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 - x (2 x) - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Etapa 1.2.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + 1 x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Etapa 1.2.4.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Etapa 1.2.4.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.1.1

Mova $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Etapa 1.2.4.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Etapa 1.2.4.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Etapa 1.2.4.5

Reordene os termos.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + 2 < 0$

Etapa 1.2.5

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + \frac{2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.7.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x - 2}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.7.4

Some $x$ e $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 5 - 2}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.7.5

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.7.6

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 2 \cdot 3 = - 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 (x) + 3}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.7.6.1.2

Reescreva $5$ como $- 1$ mais $6$

$\frac{- 2 x^{2} + (- 1 + 6) x + 3}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.7.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} - 1 x + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.7.6.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.6.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- 2 x^{2} - 1 x) + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.7.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- 2 x - 1) - 3 (- 2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.7.6.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 x - 1$ .

$\frac{(- 2 x - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.8

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{(- (2 x) - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.9

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (2 x) - 1 (1)) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.10

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.11

Reescreva $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Etapa 1.3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Etapa 1.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 1.5

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.6

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.7

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 1.8

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 1.9

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = 3$

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 1.10

Consolide as soluções.

$x = - \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{2}$

Etapa 1.11

Encontre o domínio de $- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ .

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Etapa 1.11.1

Defina o denominador em $\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x - 1 = 0$

Etapa 1.11.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 1.11.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.11.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.11.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 1.11.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 1.12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 3$

$x > 3$

Etapa 1.13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.13.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 1.13.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$\frac{5}{2 (- 3) - 1} < (- 3) - 2$

Etapa 1.13.1.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{714285}$ não é menor do que o lado direito $- 5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.13.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.13.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{5}{2 (0) - 1} < (0) - 2$

Etapa 1.13.2.3

O lado esquerdo $- 5$ é menor do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.13.3

Teste um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.3.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{1}{2} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 1.13.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{5}{2 (2) - 1} < (2) - 2$

Etapa 1.13.3.3

O lado esquerdo $1.\overline{6}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.13.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.13.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 1.13.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{5}{2 (6) - 1} < (6) - 2$

Etapa 1.13.4.3

O lado esquerdo $0.\overline{45}$ é menor do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.13.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$\frac{1}{2} < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$\frac{1}{2} < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 1.14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ ou $x > 3$

Etapa 2

Use a desigualdade $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ para criar a notação do conjunto.

${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3}$

Etapa 3