Álgebra Exemplos

$y = x^{4} - 12 x^{3} + 52 x^{2} - 96 x + 64$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 12 x^{3} + 52 x^{2} - 96 x + 64$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [52 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $52$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $52 x^{2}$ em relação a $x$ é $52 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 52 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 52 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $52$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 96 x$ em relação a $x$ é $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 96$ por $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$ e $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [104 x] + \frac{d}{d x} [- 96]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (104 x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [104 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $104$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $104 x$ em relação a $x$ é $104 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 104 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 104 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $104$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 104 + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $- 96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 96$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 104 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $12 x^{2} - 72 x + 104$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 104$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [52 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [52 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $52$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $52 x^{2}$ em relação a $x$ é $52 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 52 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 52 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $52$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 96 x$ em relação a $x$ é $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 96$ por $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 + \frac{d}{d x} [64]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.5.1

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 104 x - 96$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 104 x - 96 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $4$ de $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 104 x - 96 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $4$ de $104 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (26 x) - 96 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $4$ de $- 96$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (26 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (26 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

Etapa 5.2.1.6

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (26 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 26 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

Etapa 5.2.1.7

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 26 x) + 4 \cdot - 24$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 5.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 5.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Etapa 5.2.2.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 5.2.2.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 26 \cdot 2 - 24$

Etapa 5.2.2.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 9 \cdot 2^{2} + 26 \cdot 2 - 24$

Etapa 5.2.2.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 9 \cdot 4 + 26 \cdot 2 - 24$

Etapa 5.2.2.3.4

Multiplique $- 9$ por $4$ .

$8 - 36 + 26 \cdot 2 - 24$

Etapa 5.2.2.3.5

Subtraia $36$ de $8$ .

$- 28 + 26 \cdot 2 - 24$

Etapa 5.2.2.3.6

Multiplique $26$ por $2$ .

$- 28 + 52 - 24$

Etapa 5.2.2.3.7

Some $- 28$ e $52$ .

$24 - 24$

Etapa 5.2.2.3.8

Subtraia $24$ de $24$ .

$0$

Etapa 5.2.2.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24}{x - 2}$

Etapa 5.2.2.5

Divida $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ por $x - 2$ .

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Etapa 5.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$26 x$

$24$

Etapa 5.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$

Etapa 5.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Etapa 5.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$

Etapa 5.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 7 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$

Etapa 5.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Etapa 5.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 7 x^{2} + 14 x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Etapa 5.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$

Etapa 5.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$

Etapa 5.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$

Etapa 5.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	-	$24$

Etapa 5.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 x - 24$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$
							-	$12 x$	+	$24$

Etapa 5.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$26 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$12 x$	-	$24$
							-	$12 x$	+	$24$
										$0$

Etapa 5.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 7 x + 12$

Etapa 5.2.2.6

Escreva $x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24$ como um conjunto de fatores.

$4 ((x - 2) (x^{2} - 7 x + 12)) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Fatore $x^{2} - 7 x + 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $x^{2} - 7 x + 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 4, - 3$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 ((x - 2) ((x - 4) (x - 3))) = 0$

Etapa 5.2.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 ((x - 2) (x - 4) (x - 3)) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 2) (x - 4) (x - 3) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 5.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 2) (x - 4) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, 4, 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2, 4, 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2 + 104$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 4 - 72 \cdot 2 + 104$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $4$ .

$48 - 72 \cdot 2 + 104$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 72$ por $2$ .

$48 - 144 + 104$

Etapa 9.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $144$ de $48$ .

$- 96 + 104$

Etapa 9.2.2

Some $- 96$ e $104$ .

$8$

Etapa 10

$x = 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = {(2)}^{4} - 12 {(2)}^{3} + 52 {(2)}^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (2) = 16 - 12 {(2)}^{3} + 52 {(2)}^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = 16 - 12 \cdot 8 + 52 {(2)}^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $8$ .

$f (2) = 16 - 96 + 52 {(2)}^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Etapa 11.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 16 - 96 + 52 \cdot 4 - 96 \cdot 2 + 64$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $52$ por $4$ .

$f (2) = 16 - 96 + 208 - 96 \cdot 2 + 64$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $- 96$ por $2$ .

$f (2) = 16 - 96 + 208 - 192 + 64$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Subtraia $96$ de $16$ .

$f (2) = - 80 + 208 - 192 + 64$

Etapa 11.2.2.2

Some $- 80$ e $208$ .

$f (2) = 128 - 192 + 64$

Etapa 11.2.2.3

Subtraia $192$ de $128$ .

$f (2) = - 64 + 64$

Etapa 11.2.2.4

Some $- 64$ e $64$ .

$f (2) = 0$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 104$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 104$

Etapa 13.1.2

Multiplique $12$ por $16$ .

$192 - 72 \cdot 4 + 104$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 72$ por $4$ .

$192 - 288 + 104$

Etapa 13.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Subtraia $288$ de $192$ .

$- 96 + 104$

Etapa 13.2.2

Some $- 96$ e $104$ .

$8$

Etapa 14

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = {(4)}^{4} - 12 {(4)}^{3} + 52 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 + 64$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f (4) = 256 - 12 {(4)}^{3} + 52 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 + 64$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (4) = 256 - 12 \cdot 64 + 52 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 + 64$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $64$ .

$f (4) = 256 - 768 + 52 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 + 64$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 256 - 768 + 52 \cdot 16 - 96 \cdot 4 + 64$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $52$ por $16$ .

$f (4) = 256 - 768 + 832 - 96 \cdot 4 + 64$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $- 96$ por $4$ .

$f (4) = 256 - 768 + 832 - 384 + 64$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Subtraia $768$ de $256$ .

$f (4) = - 512 + 832 - 384 + 64$

Etapa 15.2.2.2

Some $- 512$ e $832$ .

$f (4) = 320 - 384 + 64$

Etapa 15.2.2.3

Subtraia $384$ de $320$ .

$f (4) = - 64 + 64$

Etapa 15.2.2.4

Some $- 64$ e $64$ .

$f (4) = 0$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3 + 104$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 9 - 72 \cdot 3 + 104$

Etapa 17.1.2

Multiplique $12$ por $9$ .

$108 - 72 \cdot 3 + 104$

Etapa 17.1.3

Multiplique $- 72$ por $3$ .

$108 - 216 + 104$

Etapa 17.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Subtraia $216$ de $108$ .

$- 108 + 104$

Etapa 17.2.2

Some $- 108$ e $104$ .

$- 4$

Etapa 18

$x = 3$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um máximo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = {(3)}^{4} - 12 {(3)}^{3} + 52 {(3)}^{2} - 96 \cdot 3 + 64$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f (3) = 81 - 12 {(3)}^{3} + 52 {(3)}^{2} - 96 \cdot 3 + 64$

Etapa 19.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = 81 - 12 \cdot 27 + 52 {(3)}^{2} - 96 \cdot 3 + 64$

Etapa 19.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $27$ .

$f (3) = 81 - 324 + 52 {(3)}^{2} - 96 \cdot 3 + 64$

Etapa 19.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 81 - 324 + 52 \cdot 9 - 96 \cdot 3 + 64$

Etapa 19.2.1.5

Multiplique $52$ por $9$ .

$f (3) = 81 - 324 + 468 - 96 \cdot 3 + 64$

Etapa 19.2.1.6

Multiplique $- 96$ por $3$ .

$f (3) = 81 - 324 + 468 - 288 + 64$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Subtraia $324$ de $81$ .

$f (3) = - 243 + 468 - 288 + 64$

Etapa 19.2.2.2

Some $- 243$ e $468$ .

$f (3) = 225 - 288 + 64$

Etapa 19.2.2.3

Subtraia $288$ de $225$ .

$f (3) = - 63 + 64$

Etapa 19.2.2.4

Some $- 63$ e $64$ .

$f (3) = 1$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 52 x^{2} - 96 x + 64$ .

$(2, 0)$ é um mínimo local

$(4, 0)$ é um mínimo local

$(3, 1)$ é um máximo local

Etapa 21