Álgebra Exemplos

$g (x) = \frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 9}$

Etapa 1

Determine se a função é ímpar, par ou nenhum dos dois para encontrar a simetria.

1. Se ímpar, a função será simétrica em relação à origem.

2. Se par, a função será simétrica em relação ao eixo y.

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$g (x) = \frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2} - 9}$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$g (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 9}$

Etapa 2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$g (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 3^{2}}$

Etapa 2.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$g (x) = \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 3

Encontre $f (- x)$ .

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Etapa 3.1

Encontre $g (- x)$ substituindo $- x$ por todas as ocorrências de $x$ em $g (x)$ .

$g (- x) = \frac{((- x) + 4) ((- x) - 4)}{((- x) + 3) ((- x) - 3)}$

Etapa 3.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$g (- x) = \frac{(- (x) + 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.3

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$g (- x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot - 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$g (- x) = \frac{- (x - 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.5

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- x - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- (x) - 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.7

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- (x) - 1 \cdot 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (4)$ .

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- (x + 4))}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.9.1

Reescreva $- (x + 4)$ como $- 1 (x + 4)$ .

$g (- x) = \frac{- 1 (x - 4) (- 1 (x + 4))}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.9.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (- x) = \frac{1 (x - 4) (x + 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.9.3

Multiplique $x - 4$ por $1$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(- x + 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.10

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(- (x) + 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.11

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(- (x) - 1 \cdot - 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.12

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- (x - 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.13

Reescreva $- (x - 3)$ como $- 1 (x - 3)$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- x - 3)}$

Etapa 3.14

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- (x) - 3)}$

Etapa 3.15

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- (x) - 1 \cdot 3)}$

Etapa 3.16

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- (x + 3))}$

Etapa 3.17

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.17.1

Reescreva $- (x + 3)$ como $- 1 (x + 3)$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{- 1 (x - 3) (- 1 (x + 3))}$

Etapa 3.17.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{1 (x - 3) (x + 3)}$

Etapa 3.17.3

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$g (- x) = \frac{(x - 4) (x + 4)}{(x - 3) (x + 3)}$

Etapa 4

Uma função será par se $f (- x) = f (x)$ .

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Etapa 4.1

Verifique se $f (- x) = f (x)$ .

Etapa 4.2

Como $\frac{(x - 4) (x + 4)}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{(x + 4) (x - 4)}{(x + 3) (x - 3)}$ , a função é par.

A função é par

Etapa 5

Como a função não é ímpar, ela não é simétrica em relação à origem.

Nenhuma simetria de origem

Etapa 6

Como a função é par, ela é simétrica em relação ao eixo y.

Simetria do eixo y

Etapa 7