Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Determine se a função é ímpar, par ou nenhum dos dois para encontrar a simetria.

1. Se ímpar, a função será simétrica em relação à origem.

2. Se par, a função será simétrica em relação ao eixo y.

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 2 x$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$f (x) = \frac{x \cdot x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1}$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$f (x) = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 2}{x^{2} - 1}$

Etapa 2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 2$ .

$f (x) = \frac{x (x^{2} - 2)}{x^{2} - 1}$

Etapa 2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x^{2} - 2)}{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 2.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 3

Encontre $f (- x)$ .

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Etapa 3.1

Encontre $f (- x)$ substituindo $- x$ por todas as ocorrências de $x$ em $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{(- x) ({(- x)}^{2} - 2)}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = \frac{- x ({(- 1)}^{2} x^{2} - 2)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- x) = \frac{- x (1 x^{2} - 2)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = \frac{- x (x^{2} - 2)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.3.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.3.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.3.5

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Etapa 3.3.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Etapa 3.3.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Etapa 3.3.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Etapa 3.3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.9.1

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Etapa 3.3.9.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Etapa 3.3.9.3

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f (- x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(x - 1) (x + 1)}$

Etapa 4

Uma função será par se $f (- x) = f (x)$ .

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Etapa 4.1

Verifique se $f (- x) = f (x)$ .

Etapa 4.2

Como $- \frac{x (x^{2} - 2)}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$ , a função não é par.

A função não é par

Etapa 5

Uma função será ímpar se $f (- x) = - f (x)$ .

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 5.2

Como $- \frac{x (x^{2} - 2)}{(x - 1) (x + 1)} = - \frac{x (x^{2} - 2)}{(x + 1) (x - 1)}$ , a função é ímpar.

A função é ímpar

Etapa 6

Como a função é ímpar, ela é simétrica em relação à origem.

Simetria de origem

Etapa 7

Como a função não é par, ela não é simétrica em relação ao eixo y.

Não há simetria do eixo y

Etapa 8

Determine a simetria da função.

Simetria de origem

Etapa 9