Álgebra Exemplos

$x^{2} - 2 y^{2} = 18$

Etapa 1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 2 y^{2} = 18 - x^{2}$

Etapa 2

Divida cada termo em $- 2 y^{2} = 18 - x^{2}$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $- 2 y^{2} = 18 - x^{2}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{18}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{18}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{18}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Divida $18$ por $- 2$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Etapa 2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y^{2} = - 9 + \frac{x^{2}}{2}$

Etapa 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 4

Simplifique $\pm \sqrt{- 9 + \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Etapa 4.1

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 4.2

Combine $- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 9 \cdot 2 + x^{2}}{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 18 + x^{2}}{2}}$

Etapa 4.5

Reescreva $\sqrt{\frac{- 18 + x^{2}}{2}}$ como $\frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.6

Multiplique $\frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 4.7.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 4.7.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 4.7.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 4.7.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.8

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 18 + x^{2}) \cdot 2}}{2}$

Etapa 4.9

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(- 18 + x^{2}) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

Etapa 6

Defina o radicando em $\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 (- 18 + x^{2}) \geq 0$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Simplifique $2 (- 18 + x^{2})$ .

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Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot - 18 + 2 x^{2} \geq 0$

Etapa 7.1.2

Multiplique $2$ por $- 18$ .

$- 36 + 2 x^{2} \geq 0$

Etapa 7.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = - 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}$

Etapa 7.3

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3 \sqrt{2}$

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$

$x > 3 \sqrt{2}$

Etapa 7.4

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.4.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3 \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.4.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3 \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 7$

Etapa 7.4.1.2

Substitua $x$ por $- 7$ na desigualdade original.

$2 (- 18 + {(- 7)}^{2}) \geq 0$

Etapa 7.4.1.3

O lado esquerdo $62$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.4.2

Teste um valor no intervalo $- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.4.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 7.4.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 (- 18 + {(0)}^{2}) \geq 0$

Etapa 7.4.2.3

O lado esquerdo $- 36$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.4.3

Teste um valor no intervalo $x > 3 \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.4.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3 \sqrt{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 7$

Etapa 7.4.3.2

Substitua $x$ por $7$ na desigualdade original.

$2 (- 18 + {(7)}^{2}) \geq 0$

Etapa 7.4.3.3

O lado esquerdo $62$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.4.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3 \sqrt{2}$ Verdadeiro

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ Falso

$x > 3 \sqrt{2}$ Verdadeiro

$x < - 3 \sqrt{2}$ Verdadeiro

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ Falso

$x > 3 \sqrt{2}$ Verdadeiro

Etapa 7.5

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 3 \sqrt{2}$ ou $x \geq 3 \sqrt{2}$

Etapa 8

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3 \sqrt{2}] \cup [3 \sqrt{2}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - 3 \sqrt{2}, x \geq 3 \sqrt{2}}$

Etapa 9